Question

معادله دیفرانسیل $ F'(t)+2tF(t)=1 $ را حل کنید.

Comments

اگر در سمت راست 1 را نداشتیم جواب رادیکال pi تقسیم بر دو ضرب در e^(-t^2) میشه ولی با وجود 1 نمیتونم حلش کنم.

Answer 1

معادلات به فرم $y' +p(x)y=g(x)$، معادلات خطی مرتبه اول هستند، ابتدا عبارت $\mu (x)= e^{ \int p(x)dx }$ را می یابیم: $$\mu (t)= e^{ \int p(t)dt } = e^{ \int 2tdt }=e^{ t^{2} }$$ سپس طرفین را در $\mu (t)=e^{ t^{2} }$ ضرب می کنیم: $$e^{ t^{2} }F'(t)+2te^{ t^{2} }F(t)=e^{ t^{2} }$$ عبارت سمت چپ مشتق $e^{ t^{2}}F(t)$ می باشد، پس داریم: $$ \frac{d}{dt} (e^{ t^{2}}F(t))=e^{ t^{2}}$$ با انتگرال گیری از طرفین داریم: $$F(t)= \frac{1}{ e^{ t^{2} }} \int e^{ t^{2} }dt+ ce^{ -t^{2} } $$ که $c$ ثابت انتگرالگیری می باشد.

همچنین: $$\int e^{ x^{2} }= \frac{1}{2} \sqrt{\pi} ( erfi(x))+c $$ که در آن:

Answer 2

برای حل معادلات دیفرانسیل به صورت $$ y' +p(x)y=g(x) $$ که $ p(x),g(x) $ مخالف صفر هستند به صورت زیر عمل میکنیم.

ابتدا $ \mu (x)= e^{ \int p(x)dx } $ را می یابیم و جواب برابر خواهد بود با $$ \frac{1}{ \mu (x)} \int \mu (x)g(x)dx$$

در اینجا $p(t)=2t $ و $g(t)=1 $ پس $ \mu (t)= e^{ \int p(t)dt } = e^{ \int 2tdt }=e^{ t^{2} }$ و لذا جواب برابر خواهد بود با $$ F(t)= \frac{1}{ e^{ t^{2} }} \int e^{ t^{2} }dt $$

Comments

@erfanm
تا اینجا رو که خودمم میدونستم. در واقع سوالم حل این انتگراله: F(t)=انتگرال از 0 تا بینهایت e^(-x^2)ضربدرsin(2xt)dx
تو حلش به اون معادله دیفرانسیل رسیدم باید F(t) بر حسب t بدست بیاد وگرنه که به یه انتگرال دیگه رسیدیم!!!!