برای مجموعه ی $A$ تعداد دو تایی از زیر مجموعه هارا بیابید که اجتماعشون برابر$A$ باشد.

Question

اعضای مجموعه ی $ A $ اعداد 1 تا $ n$ هستند.تعداد دو تایی از زیر مجموعه های $ A $ را بیابید که اجتماعشون برابر $ A $ باشد. مثلا دو زیر مجموعه $ A $ مانند $\{1,2,3,...n-2 \} $ و $\{1,2,n-2,n-1,n \} $ یکی از حالت های قابل قبول هستند چون اجتماعشون برابر $ A $ می شود

Comments

میشه دو به توان n منهای عدد یک؟

---

خیر جواب این نیست

Answer 1

جواب $ 3^n $ است . به هر دوتایی $ (A,B) $ از زیرمجموعه های مجموعه $ N = \lbrace 1,2,..,n\rbrace $ که $ A \cup B = N $ می توان n تایی $$ \big( a_{1} , a_{2} , ... , a_{n} \big) $$ را از ارقام 0 و1 و2 نسبت داد

که برای هر $ i = 1 , 2 , ... , n $ داریم :

$$ a_{i} =\begin{cases}0 & i \in A - B\\1 & i \in A \cap B \\2& i \in B - A\end{cases} $$ و بعکس به هر چنین n تایی میتوان دوتایی $ (A,B) $ از زیر مجموعه های$N = \lbrace 1,2,...,n\rbrace $ را نسبت داد که $ A \cup B = N $. حال تعداد این n تایی ها طبق اصل ضرب $ 3^n $ است .