برای مجموعه ی $A$ تعداد دو تایی از زیر مجموعه هارا بیابید که اجتماعشون برابر$A$ باشد.

Question

اعضای مجموعه ی $A$ اعداد 1 تا $n$ هستند.تعداد دو تایی از زیر مجموعه های $A$ را بیابید که اجتماعشون برابر $A$ باشد. مثلا دو زیر مجموعه $A$ مانند $\{1,2,3,...n-2 \}$ و $\{1,2,n-2,n-1,n \}$ یکی از حالت های قابل قبول هستند چون اجتماعشون برابر $A$ می شود

Comments

میشه دو به توان n منهای عدد یک؟

---

خیر جواب این نیست

Answer 1

جواب $3^n$ است . به هر دوتایی $(A,B)$ از زیرمجموعه های مجموعه $N = \lbrace 1,2,..,n\rbrace$ که $A \cup B = N$ می توان n تایی $$\big( a_{1} , a_{2} , ... , a_{n} \big)$$ را از ارقام 0 و1 و2 نسبت داد

که برای هر $i = 1 , 2 , ... , n$ داریم :

$$a_{i} =\begin{cases}0 & i \in A - B\\1 & i \in A \cap B \\2& i \in B - A\end{cases}$$ و بعکس به هر چنین n تایی میتوان دوتایی $(A,B)$ از زیر مجموعه های$N = \lbrace 1,2,...,n\rbrace$ را نسبت داد که $A \cup B = N$. حال تعداد این n تایی ها طبق اصل ضرب $3^n$ است .