چند عدد$4$رقمی و مضرب$4$ را می توان با ارقام $0،2،4،7،8$ ساخت؟

Question

چند عدد $4$ رقمی و مضرب $4$ را می توان با ارقام $0 $، $ 2 $، $4$، $7$ و $8$ میتوان ساخت؟

Answer 1

توجه:عددی بر 4 بخشپذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخشپذیر باشد:

پس بدون تکرار می‌توان گفت که از بین اعدادی که می‌شود با 5 رقم بالا ساخت عددی بر 4 بخشپذیر است که دو رقم سمت راست آن یکی از ارقام دو دسته زیر باشد:

دسته اول: $ 20،40،80،04، 08$ ( $5$ تا هستند )

دسته دوم: $ 24،28،48،72،84$ ( $5$ تا هستند )

هر کدام از اعدادی که دو رقم آخرشان از دسته اول هستند برای رقم هزارگان $ 3$ انتخاب داریم و برای صدگان $2$ انتخاب داریم، برای مثال اگر دو رقم سمت راست $ 20$ باشد ما برای هزارگان $ 3$ انتخاب و برای صدگان $ 2$ انتخاب داریم که در کل ما از این ترکیب $ 6$ عدد بخشپذیر بر $ 4$ داریم که دو رقم آخرشان $ 20$ است؛ اما دسته اول $ 5$ تا هستند و با هر کدام میتونیم $ 6$ عدد تولید کنیم یعنی در کل برای دسته اول $5\times 6 =30 $ عدد بخشپذیر بر $4 $ داریم.

هر کدام از اعدادی که دو رقم آخرشان از دسته دوم هستند برای رقم هزارگان $ 2$ انتخاب داریم زیرا صفر نمیتواند در هزارگان قرار گیرد و برای صدگان نیز $2$ انتخاب داریم، برای مثال اگر دو رقم سمت راست $ 24$ باشد ما برای هزارگان $ 2$ انتخاب $7$ یا $8$ و برای صدگان $ 2$ انتخاب ( $0$ یا ( $7$ یا $8$ ) ) داریم که در کل ما از این ترکیب $ 4$ عدد بخشپذیر بر $ 4$ داریم که دو رقم آخرشان $ 24$ است؛ اما دسته دوم $ 5$ تا هستند و با هر کدام میتونیم $ 4$ عدد تولید کنیم یعنی در کل برای دسته دوم $5\times 4 =20 $ عدد بخشپذیر بر $4 $ داریم.

حال در مجموع میتونیم بگیم که $20 + 30 = 50 $ تعداد عدد $4$ رقمی بخشپذیر بر $4$ را میتونیم با ارقام $0$ ، $2$ ، $4$ ،$7$و $8$ بسازیم.

Answer 2

عددی بر چهار بخشپذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخشپذیر باشد پس حالت های زیر را در نظر میگیریم:

الف) رقم یکان صفر باشد باید رقم دهگان یکی از سه رقم 2 یا 4 یا 8 باشد پس در کل $3*2*3*1=18$ عدد با این ویژگی و بخشپذیر بر 4 داریم.

ب) رقم دهگان صفر باشد باید رقم یکان یکی از دو رقم 4 و 8 باشد پس در کل $3*2*1*2=12$ عدد با این ویژگی و بخشپذیر بر 4 داریم.

ج) رقم یکان 8 باشد بدون در نظر گرفتن صفر برای دهگان و همچنین اینکه نباید رقم هزارگان نیز صفر باشد تعداد کل اعداد در این حالت برابر است با $2*2*2*1=8$ عدد.

د)رقم دهگان 8 باشد بدون در نظر گرفتن صفر برای یکان و همچنین اینکه نباید رقم هزارگان نیز صفر باشد تعداد کل اعداد در این حالت برابر است با $2*2*1*1=4$ عدد.

ه) رقم یکان 4 و دهگان 2 باشد در این حالت با توجه به اینکه صفر نباید در هزار گان باشد تعداد کل اعداد با این ویژگی برابر است با $2*2*1*1=4$.

و)و بالخره اینکه یکان 2 باشد و دهگان باید 7 باشد در این حالت هم با توجه به اینکه صفر نباید در هزارگان باشد تعداد کل اعداد با این ویژگی برابر است با $2*2*1*1=4$.

پس تعداد کل اعداد چهار رقمی بخشپذیر بر 4 با 5 عدد 0 و 2 و 4 و 7 و 8 برابر است با:

$$18+12+8+4+4+4=50$$