به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
108 بازدید
در دبیرستان توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)

تاسی را سه بار پرتاب می‌کنیم تا سه عدد $a,b,c$ ظاهر شود. در چند حالت با طول این سه عدد می توان مثلث ساخت؟

مرجع: المپیاد دانش آموزی ریاضی سال ۱۴۰۰-مرحله اول - سوال۲۴

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط Elyas1 (4,093 امتیاز)
انتخاب شده توسط Dana_Sotoudeh
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

فرض می کنیم که $a \geq b \geq c$ است. جدول زیر طبق این نامساوی و نامساوی مثلثی نوشته شده است:

$a$ مقدار $b$ مقدار $c$ تعداد
$6$ $6$ $6$
$6$ $5$ $4$
$6$ $4$ $2$
$*5$ $ 5$ $5$
$5$ $4$ $3$
$5$ $ 3$ $1$
$*4$ $4$ $4$
$4$ $3$ $2$
$*3$ $3$ $3$
$3$ $2$ $1$
$*2$ $2$ $2$
$*1$ $1$ $1$

جدول فوق می توانست خیلی کوتاه تر نوشته شود. به راحتی می توانستیم به رابطه اعداد ستون سوم پی ببریم.

اگر تمام اعداد ستون سوم را جمع کنیم، تعداد مثلث ها با شرط نامساوی $a \geq b \geq c$ را بدست آورده ایم. با توجه به جدول بالا: تعداد مثلث هایی که اندازه سه ضلع برابر است برابر با $6$ تاست. تعداد مثلث هایی که فقط اندازه دو ضلع آن ها برابر است، برابر با $21$ و تعداد مثلث هایی که هیچ سه ضلع برابر نیست، برابر با $7$ تاست. برای از بین بردن نامساوی جایگشت می دهیم:

$6+ \frac{3!}{2} (21)+ 3!(7)=111$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...