به نام خدا.
فرض می کنیم که
$a \geq b \geq c$
است. جدول زیر طبق این نامساوی و نامساوی مثلثی نوشته شده است:
| $a$ مقدار |
$b$ مقدار |
$c$ تعداد |
| $6$ |
$6$ |
$6$ |
| $6$ |
$5$ |
$4$ |
| $6$ |
$4$ |
$2$ |
| $*5$ |
$ 5$ |
$5$ |
| $5$ |
$4$ |
$3$ |
| $5$ |
$ 3$ |
$1$ |
| $*4$ |
$4$ |
$4$ |
| $4$ |
$3$ |
$2$ |
| $*3$ |
$3$ |
$3$ |
| $3$ |
$2$ |
$1$ |
| $*2$ |
$2$ |
$2$ |
| $*1$ |
$1$ |
$1$ |
جدول فوق می توانست خیلی کوتاه تر نوشته شود. به راحتی می توانستیم به رابطه اعداد ستون سوم پی ببریم.
اگر تمام اعداد ستون سوم را جمع کنیم، تعداد مثلث ها با شرط نامساوی $a \geq b \geq c$ را بدست آورده ایم. با توجه به جدول بالا: تعداد مثلث هایی که اندازه سه ضلع برابر است برابر با $6$ تاست. تعداد مثلث هایی که فقط اندازه دو ضلع آن ها برابر است، برابر با $21$ و تعداد مثلث هایی که هیچ سه ضلع برابر نیست، برابر با $7$ تاست. برای از بین بردن نامساوی جایگشت می دهیم:
$6+ \frac{3!}{2} (21)+ 3!(7)=111$
