ترکیب دو تابع پوشا

Question

سلام، اثباتی برای مطلب زیر میخام ترکیب دو تابع پوشا، پوشاست.

Answer 1

فرض کنید $f:A\to B$ پوشا و $g:B\to C$ پوشا باشد. نشان می دهیم $g\circ f:A\to C$ پوشا است.

فرض کنید $c\in C$ دلخواه باشد. چون $g$ پوشا است لذا $b\in B$ موجود است که $g(b)=c$

از طرفی $f$ پوشاست و $b\in B$ پس $a\in A$ وجود دارد که $f(a)=b$

بنابراین $g\circ f(a)=g(f(a))=g(b)=c$