اثبات قضیه حد ضرب دو تابع

Question

سلام در تصویر پایین اثبات قضیه حد ضرب دو تابع اومده من همه جای اونو می فهمم به جز قسمت (3ب) می خواستم بدونم که کتاب چجوری از قسمت وسط او نامساوی اپسیلون سوم +اپسیلون سوم+اپسیلون سوم رو نتیجه گرفته. لطفا مراحل رسیدن به اون نامساوی رو بنویسید.

Answer 1

از اینکه $|F_2(t)-L_2|< \frac{1}{3(1+|L_1|)}$ داریم $$|L_1|.|F_2(t)-L_2|< \frac{|L_1|\epsilon}{3(1+|L_1|)}< \frac\epsilon 3$$

(توجه کنید که برای هر عدد نامنفی $a$ همواره داریم $\frac{a}{1+a}< 1$)

و بطور مشابه برای دومی می توانید استدلال کنید و آخری هم از ضرب دو تا رادیکال به دست می آید.