به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
512 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20

باسلام :

فرض کنید تابعی داریم مانند $ f $ که تابع متناوبی است(مانند سینوس و کسینوس و ..) .

آنگاه:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=? $$

چند حالت دارد ؟

و اینکه اگر این تابع متناوب ثابت باشد : انگاه میتوانیم نتیجه بگیریم که ؟:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty }c=c $$

در کل قضیه حد تابع متناوب در بینهایت چیست ؟ خیلی ممنون

توسط majidgh69
ویرایش شده توسط fardina
–1
سلام
تنها  تابع متناوب که در بینهایت دارای حد بوده توابع ثابت  می باشند یعنی برای آنکه یک تابع متناوب در بینهایت دارای حد باشد نیاز است که حد چپ  و راست آن با هم برابر باشد لذا می توان نتیجه گرفت که تنها تابع متناوبی که میتواند در بینهایت حد داشته باشد توابع ثابت می باشند.
موفق باشید
توسط fardina
+1
@majidgh69
ممنون برای ارسال پاسخ. ولی این بیشتر شبیه یک دیدگاه هست تا پاسخ. چون یک پاسخ باید با فراهم کردن اثبات و نوشتن جزییات همراه باشد.
میشه این جمله رو توضیح بدید: "یعنی برای آنکه یک تابع متناوب در بینهایت دارای حد باشد نیاز است که حد چپ و راست آن با هم برابر باشد"؟
توسط majidgh69
پاسخ به صورت دیدگاه نوشته شد چرا که انتظار از دوستان بیشتر بود. به هر حال ممنون
توسط fardina
@majidgh69
مرسی که مشارکت کردید در پاسخ دادن. پس من پاسخ رو به یک دیدگاه تبدیل می کنم.

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط majidgh69

برای هر تابع دلخواه $f(x)$ ,$f:R \longrightarrow R$اگر به ازای هر مقدار بزرگ داشته باشیم: $f(x)=a$ و به ازای مقدار بزرگ دیگر داشته باشیم: $f(x)=b$ لذا به منظور حد داشتن در مقادیر بزرگ $ x$ باید $a=b$ باشد و این بدان معناست که تنها تابع متناوب که در بینهایت حد داره، توابع ثابت است البته با سری فوریه هم میشه این ادعا رو ثابت کرد.

0 امتیاز
توسط fardina

فرض کنیم $f$ تابعی متناوب با دوره تناوب $p$ باشد که $\lim_{x\to \infty}=k\in\mathbb R$. نشان می دهیم که تابع ثابت است. فرض کنیم ثابت نباشد یعنی $x_1\neq x_2$ موجود باشند که $f(x_1)\neq f(x_2)$. در اینصورت بنابر تعریف حد در بی نهایت $$\exists N>0\quad s.t.\quad \forall x\geq N\implies |f(x)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{4}$$

اما چون تابع متناوب است پس می توان $n\in\mathbb N$ را آنقدر بزرگ اختیار کرد که $x_1+np,x_2+np\geq N$ و لذا $$|f(x_1)-k|=|f(x_1+np)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{4}\\ |f(x_2)-k|=|f(x_2+np)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{4}$$

در اینصورت $$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f(x_1)-k|+|f(x_2)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{2}$$ که تناقض است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...