فرض کنیم $f$ تابعی متناوب با دوره تناوب $p$ باشد که $\lim_{x\to \infty}=k\in\mathbb R$. نشان می دهیم که تابع ثابت است. فرض کنیم ثابت نباشد یعنی $x_1\neq x_2$ موجود باشند که $f(x_1)\neq f(x_2)$. در اینصورت بنابر تعریف حد در بی نهایت
$$\exists N>0\quad s.t.\quad \forall x\geq N\implies |f(x)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{4}$$
اما چون تابع متناوب است پس می توان $n\in\mathbb N$ را آنقدر بزرگ اختیار کرد که $x_1+np,x_2+np\geq N$ و لذا
$$|f(x_1)-k|=|f(x_1+np)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{4}\\
|f(x_2)-k|=|f(x_2+np)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{4}$$
در اینصورت
$$|f(x_1)-f(x_2)|\leq |f(x_1)-k|+|f(x_2)-k|< \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{2}$$ که تناقض است.
