برای حل چنین معادلاتی قرار می دهیم $ t=sin(x) $ و با جایگذاری معادله درجه دوم
$ 2t^{2} -t-1=0 $ را داریم که با حل آن(مثلا با روش دلتا )بدست می آید که $t=1 $و$t= \frac{-1}{2} $ و چون $ t=sin(x) $ باید دو معادله ی $ 1=sin(x) $ و $ \frac{-1}{2}=sin(x) $ را حل کنیم.
جواب معادله ی $ 1=sin(x) $ برابر است با $x=2k\pi + \alpha $ و $x=2k\pi +\pi- \alpha $ که در اینجا $ sin(x)= 1=sin( \frac{\pi}{2} )$ و لذا جواب $ x=2k\pi + \frac{\pi}{2}$ بدست می آید.
جواب معادله ی $ \frac{-1}{2}=sin(x) $ برابر است با $x=2k\pi + \alpha $ و $x=2k\pi +\pi- \alpha $ که در اینجا $ sin(x) =\frac{-1}{2}=sin( \pi+\frac{\pi}{6} )$ و لذا جواب $ x=2k\pi +\pi+\frac{\pi}{6}$ و
$ x=2k\pi -\frac{\pi}{6}$ بدست می آید.
حال برای بدست آوردن اجتماع جوابها برای هر یک از جوابهای بدست آمده یک دسته جواب را که در محدوده $0$ تا $ 2\pi $ قرار دارند را می نویسیم داریم:
در جواب $ x=2k\pi + \frac{\pi}{2}$ فقط به ازای $k=0$جواب در محدوده قرار میگیرد و این جواب برابر است با $ \frac{\pi}{2} $
در جواب $ x=2k\pi +\pi+\frac{\pi}{6}$ فقط به ازای $k=0$جواب در محدوده قرار میگیرد و این جواب برابر است با $ \pi+\frac{\pi}{6} $
در جواب $ x=2k\pi -\frac{\pi}{6}$ فقط به ازای $k=1$جواب در محدوده قرار میگیرد و این جواب برابر است با $ \pi+\frac{5\pi}{6} $
در حالت کلی اگر جوابها دایره مثلثاتی را به $ n $ بخش مساوی تقسیم کنند جواب برابر می شود با
$ \frac{2k\pi }{n} $به اضافه یکی از جوابها که معمولا اولین( کوچکترین) جواب رو می نویسیم.
حال اگر جوابها را روی دایره مثلثاتی در نظر بگیریم خواهیم دید که این 3 جواب دایره مثلثاتی را به 3 قسمت برابر تقسیم می کنند لذا جواب کل برابر است با $ \frac{2k\pi }{3}+ \frac{\pi}{2} $
