تعریف ريشهٔ ساده، مكررِ زوج و مكررِ فرد چیست؟

Question

با سلام. تعریف ريشهٔ ساده، مكررِ زوج، و مكررِ فرد چیست؟ به چه ريشه‌هايی این نام‌ها اطلاق می‌شوند؟ چرا به آنها ساده يا مكرر فرد يا زوج می‌گويند؟ چگونه بايد اين ريشه‌ها را تشخيص دهیم؟ آيا اين نامگذاری‌ها تنها ویژهٔ (مخصوص) عبارت‌های جبري هستند يا برای ریشه‌های یک تابعِ ناچندجمله‌ای نیز استفاده می‌شوند؟

Answer 1

اگر $x=a$ ریشه تابع چندجمله ای $f(x)$ باشد در اینصورت چند حالت داریم.

1. اگر این ریشه فقط یک بار تکرار شده باشد به آن ریشه ساده میگویند. مثلا در تابع $f(x)=(x-1)(x-2)^4(x-3)^7$ ریشه $x=1$ ریشه ساده این تابع است
2. اگر این ریشه به تعداد زوجی تکرارشده باشد آن را ریشه زوج گویند مثلا $x=2$ریشه زوج مثال بالا است.
3. اگر ریشه به تعداد فردی تکرار شده باشد آن را ریشه فرد گویند مثلا $x=3$ در مثال بالا ریشه فرد تابع است.

توجه: در تعاریف بالا باید بیشترین تعداد تکرار ریشه را در نظر بگیریم. یعنی $f(x)$را به صورت $f(x)=(x-a)^ng(x)$ مینویسیم که $x=a$ ریشه $g$ نباشد. در اینصورت اگر $n$ زوج باشد آن را از ریشه زوج و اگر برد باشد ا ز ریشه فرد گوییم. و اگر $n=1$ ریشه ساده گوییم.

---

کلا اگر $f(x)=(x-a)^ng(x)$ که $g(a)\neq 0$ گوییم $a$ ریشه از مرتبه n تابع f است. توجه کنید که از این نتیجه می شود تابع $f$ دارای ریشه تکراری از مرتبه $n$ در $a$ باشد آنگاه $$f^{(0)}(a)=f^{(1)}(a)=\cdots =f^{(n-1)}(a)=0$$ و $f^{(n)}(a)\neq 0$ باشد.

برای تابع دلخواه ریشه $n$ام را می توان همین صفر شدن مشتقات متوالی در نظر گرفت.

Comments

@fardina
ممنون
ايا فقط در مورد تابع است ؟!!! يعني ابنكه ريشه هاي ساده و.. فقط در مورد تابع بيان ميشوند؟!!

واينكه ايا تابع ميتواند هر ضابطه ايي باشد ؟؟

يا نه فقط بايد جبري باشه تابگوييم ريشه ساده و.... است ؟؟

---

در مورد معادله هم در نظر بگیرید مشکلی پیش نمیاد. چون وقتی میخوایم معادله $f(x)=0$ رو حل کنیم در واقع داریم ریشه هاش رو پیدا میکنیم.
کلا اگر $f(x)=(x-a)^ng(x)$ که $g(a)\neq 0$ گوییم $a$ ریشه از مرتبه n تابع f است. توجه کنید که از این نتیجه می شود تابع $f$ دارای ریشه تکراری از مرتبه $n$ در $a$ باشد آنگاه
$$f^{(0)}(a)=f^{(1)}(a)=\cdots =f^{(n-1)}(a)=0$$ و $f^{(n)}(a)\neq 0$ باشد.

برای تابع دلخواه ریشه $n$ام را می توان همین صفر شدن مشتقات متوالی در نظر گرفت.

---

@fardina
خيلي ممنون
ادامه بحث رو در دو سوال ديگه ميپرسم!!!

---

@AmirHosein
انتقال داده شد. ممنون.

---

سلام.ایا X^3+8،، چون میتونیم به صورت اتحاد بنویسم -2 ریشه ی ساده اش حساب میشه؟