به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
350 بازدید
در دبیرستان توسط rafig256 (458 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

گزارهٔ زیر را در نظر بگیرید.

تعداد زیرمجموعه‌های زوج عضوی - و فرد عضوی - هر مجموعه برابر است با $ 2^{n-1} $.

می‌دانم که این قضیه با استقرای ریاضی به سادگی اثبات می‌شود. اما بنده به دنبال اثبات‌های متفاوت هستم. همچنین این قضیه با اصل دوسویگی هم قابل اثبات است. به نظر من باید بتوان با نوشتن جمع تعداد زیرمجموعه‌های $2k$ عضوی ($2k+1$ عضوی) به عدد $2^{n-1}$ رسید. یعنی

$$\binom{n}{0}+ \binom{n}{2}+\binom{n}{4}+ ... + \binom{n}{2[ \frac{n}{2} ]} = \binom{n}{1}+ \binom{n}{3}+\binom{n}{5}+ ... + \binom{n}{2[ \frac{n}{2} ]-1}= 2^{n-1}$$

اما چگونه باید این فرمول را ثابت کنم؟

توسط kazomano (2,433 امتیاز)
+2
در بسط خیام $ (x+y)^{n} $ قرار بدید x=-1 , y=1
توسط rafig256 (458 امتیاز)
x=-1 , y=1 از کجا می یان و نشان دهنده چیه؟
توسط rafig256 (458 امتیاز)
+1
ممنون از راهنماییتون.
حذف شد

پاسخ شما


نام شما برای نمایش - اختیاری
حریم شخصی : آدرس ایمیل شما محفوظ میماند و برای استفاده های تجاری و تبلیغاتی به کار نمی رود
کد امنیتی:
حاصلجمع 7 و 6 چقدر است؟(پاسخ حروفی)
برای جلوگیری از این تایید در آینده, لطفا وارد شده یا ثبت نام کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...