به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
29 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

با یک مثال نشان دهید ایده آل های بورل تایپ پایدار نیستند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

ایده آل $ I=( x_{1}^{2},x_{2}^{2}) $ را در $S=K[ x_{1} , x_{2} ]$ درنظر میگیریم. این ایده آل پایدار نیست چون $x_{2}^{2} \in I $و $1 < m(x_{2}^{2})=2$ اما $ x_{1} ( \frac{x_{2}^{2}}{x_{2}}) = x_{1} x_{2} \notin I $

این ایده آل بورل تایپ است برای اثبات نشان می دهیم که $ I: x_{i}^{ \infty }= I: (x_{1}, x_{2})^{ \infty } $ داریم:

$$(I: x_{1})=( x_{1},x_{2}^{2}) ,\ \ \ (I: x_{1}^{2}) =S ,..., \ \ (I: x_{1}^{n}) =S ,...$$ در نتیجه $ I: x_{1}^{ \infty }= \bigcup_{i=1}^ \infty (I: x_{1}^{i}) =S$ به طور مشابه $ I: x_{2}^{ \infty }=S$

$$I: (x_{1}, x_{2}) =( x_{1}^{2}, x_{1} x_{2} ,x_{2}^{2}) ,\ \ \ \ \ \ \ I: (x_{1}, x_{2})^{2} =( x_{1} , x_{2} )$$ $I: (x_{1}, x_{2})^{3} =S ,... \Rightarrow I: (x_{1}, x_{2})^{ \infty } =\bigcup_{i=1}^ \infty I: (x_{1}, x_{2})^{i } =S $

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...