از تغییر متغیر $x=sint$ و $y=cost$ استفاده می کنیم،در نتیجه $dy=-sintdt$ و $dx=costdt$
و می دانیم $ sin^{2}(t)+ cos^{2}(t) =1 $، $cos^{2}(t)=1- sin^{2}(t)$
در نتیجه:
$$f(x,y)= \frac{ x^{2}- y^{2} }{( x^{2}+ y^{2} )^{2} } =sin^{2}(t)-cos^{2}(t)=2sin^{2}(t)-1$$
همچنین:
$$x=0 \Rightarrow t=0$$
$$x=1 \Rightarrow t= \frac{\pi}{2} $$
$$y=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}$$
$$y=1 \Rightarrow t=0 $$
پس:
$$ \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx= \int_0^\frac{\pi}{2} \int_\frac{\pi}{2}^0(2sin^{2}(t)-1)(-sintdt)(costdt)= $$
$$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_0^\frac{\pi}{2}(2sin^{3}(t)-sint)costdtdt$$
با تغییر متغیر $u=sint \Rightarrow du=costdt$عبارت زیر به دست می آید که با انتگرالگیری به سادگی به جواب موردنظر میرسیم.
$$\int(\int(2 u^{3}-u )du)dt$$
