همونطور که اکثر دوستان اشاره کردند این چند ضلعی ها به مساحت دایره نزدیک می شوند اما به محیط نزدیک نمی شوند.
به عبارت دیگر این چندضعی ها که با حذف کردن گوشه ها به دست آمدند یک تقریبی از محیط دایره نیستند. چرا که در تقریب در هر مرحله ما به تقریب بهتری از محیط دایره باید دست یابیم و در نهایت به قول یکی از دوستان اگر محیط دایره را با $P_c$ و محیط چندضلعی را با $P_k$ نمایش دهیم باید داشته باشیم $\lim_{k\to\infty}P_k-P_c=0$در حالیکه در اینجا همواره محیط چندضلعی ها ثابت $4$ بوده و لذا $\lim_{k\to\infty}P_k-P_c=4-\pi\neq 0$ .
برای درک بهتر مطلب زیر رو در این صفحه دیدم توضیح میدم. ما میتونیم مشکل مشابهی رو برای قطر یک مربع به طول یک واحد ببینیم:
همانطور که می بینید قطر مربع بنابر فیثاغورث برابر $\sqrt{2}$ است در حالیکه خط های قرمز، سبز و آبی و ... همگی طولی برابر $2$ دارند. اما همانطور که گفتیم چون این خطها تقریبی از محیط دایره نیستند پس تناقضی هم وجود ندارد. اگر بخواهیم ریاضی وارتر نگاه کنیم چنانچه در هر مرحله قطر را به $n$ قسمت تقسیم کنیم و با این خطهای پله ای آن را تقریب بزنیم در اینصورت در هر مرحله $n$ تا مثلث به اضلاع قائمه $\frac 1n$ و وتر $\frac{\sqrt 2}n$ خواهیم داشت اگر مساحت بین قطر و این خط ها را حساب کنیم داریم
$$\lim_{n\to\infty}n\times \frac 1{n^2}\to 0$$ یعنی این خط ها تقریبی از مساحت هستند در حالیکه محیط همه ی خط ها برابر است با $n\times \frac 2n=2$ که همواره ثابت $2$ هستند.
البته چنانچه در همه ی گوشه هایی که برمیداریم وتر مربع رو در نظر بگیریم در اینصورت واضحه که تقریبی از محیط دایره هم خواهند شد.
این کلیپ جالب رو هم در مورد این سوال ببینید و همچنین منابع دیگر.
طور دیگر هم میشه به مساله نگاه کرد. اگر ما به چندضلعی ها به عنوان خم هایی در صفحه نگاه کنیم $f_n(x)$ در اینصورت این خمها واضح است که به خم دایره $g(x)$ نزدیک می شوند یعنی $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=g(x)$ . اما نمی توان در اینصورت انتظار داشت که طول خمها م به یکدیگر نزدیک شوند. چرا که می دانیم طول خم $f_n$ برابر است با $\int\sqrt{1+f_n'(x)}dx$ و طول خم $g$ برابر است با $\int\sqrt{1+g'(x)}dx$ . اما این دو لزوما با یکدیگر برابر نیستند. چرا که از $f_n(x)\to g(x)$ نمی توان نتیجه گرفت $f_n'(x)\to g'(x)$ .
