اول باید توجه داشته باشیم که در ریاضیات دو نوع $0$ مورد بحث قرار می گیرد :
1 - صفر حدی (در اینجا با نماد $0'$ نمایش می دهیم ) .
2 - صفر مطلق ( در اینجا با همان نماد $0$ نمایش می دهیم ) .
در ریاضیات منظور از صفر مطلق همان عدد صفر است که به معنای هیچ می باشد . به عنوان مثال تعداد اعضای
مجموعه تهی صفر مطلق است و یا حاصل $2-2$ برابر صفر مطلق است . و منظور از صفر حدی یعنی عددی بسیار نزدیک به صفر مطلق که می تواند مثبت یا منفی باشد مثلا $0.000000000000001$ یا $-0.00000000000000021$ که ظاهری شبیه صفر مطلق دارند اما خود عدد صفر نمی باشند .
حال حاصل تقسیم هر عدد بر صفر مطلق بی معنی است . یعنی اگر $a$ عددی دلخواه باشد آنگاه $\frac{a}{0}$ بی معنی است . مثل این می ماند که می خواهیم یک سیب را بین $0$ نفر تقسیم کنیم .(چقدر بی معنی!!!!!) .
اما حاصل تقسیم یک عدد بر صفر حدی با معنی است . حال توجه کنید :
$$\frac{1}{0.0000000000000001}=10^{16}$$
$$\frac{1}{0.00000000000000001}=10^{17}$$
$$\frac{1}{0.000000000000000001}=10^{18}$$
$$\frac{1}{0.0000000000000000001}=10^{19}$$
$$\frac{1}{0.00000000000000000001}=10^{20}$$
همان طور که مشاهده می کنید مخرج هرچقدر از سمت اعداد مثبت به عدد صفر مطلق نزدیک تر می شود حاصل تقسیم عددی بزرگتر و مثبت می شود . چنین رویدادی را در مبحث حد چنین بیان می کنیم که با میل کردن عدد مخرج به صفر مطلق از سمت راست ( از سمت قسمت مثبت محور اعداد ) , حاصل تقسیم به مثبت بی نهایت میل می کند و می نویسیم :
$$lim_{x \rightarrow 0^{+} }\frac{1}{x}= +\infty $$
و حال توجه کنید :
$$\frac{1}{-0.0000000000000001}=- 10^{16} $$
$$\frac{1}{-0.00000000000000001}=- 10^{17} $$
$$\frac{1}{-0.000000000000000001}=- 10^{18} $$
$$\frac{1}{-0.0000000000000000001}=- 10^{19} $$
$$\frac{1}{-0.00000000000000000001}=- 10^{20} $$
همانطور که مشاهده می کنید مخرج هر چقدر از سمت اعداد منفی به عدد صفر مطلق نزدیک می شود حاصل تقسیم عددی کوچکتر و منفی می شود . چنین رویدادی را در مبحث حد چنین بیان می کنیم که با میل کردن عدد مخرج به صفر مطلق از سمت چپ ( از سمت قسمت منفی محور اعداد ) , حاصل تقسیم به منفی بی نهایت میل می کند و می نویسیم :
$$lim_{x \rightarrow 0^{-} }\frac{1}{x}= -\infty $$
پس توجه داشته باشیم زمانی که می گوییم $x$ به عدد صفر مطلق نزدیک می شود یعنی فاصله $x$ از عدد صفر مطلق از هر عددی کوچکتر و کوچکتر می شود اما $x$ هرگز بر خود عدد صفر منطبق نمی شود .
حاصل $0^0$ نیز بی معنی است .( هیچ به توان هیچ !!!!!! ) . اما حاصل $0'^{0'}$ با معنی است . توجه کنید :
$$(0.0000000000000001)^{0.0000000000000001}=\sqrt[10^{16}]{0.0000000000000001}$$
$$(0.00000000000000001)^{0.00000000000000001}=\sqrt[10^{17}]{0.00000000000000001}$$
$$(0.000000000000000001)^{0.000000000000000001}=\sqrt[10^{18}]{0.000000000000000001}$$
$$(0.0000000000000000001)^{0.0000000000000000001}=\sqrt[10^{19}]{0.0000000000000000001}$$
$$(0.00000000000000000001)^{0.00000000000000000001}=\sqrt[10^{20}]{0.00000000000000000001}$$
در واقع $lim_{x \rightarrow 0^{+}}x^x= 1$ . زیرا با نزدیک شدن $x$ به عدد صفر مطلق از سمت راست محور اعداد $x^x$ به عدد $1$ نزدیک می شود . تشخیص این مطلب از روی تساوی های بالا کاری سخت است به همین دلیل ازتکنیک های حساب دیفرانسیل استفاده می کنیم . فرض می کنیم $A=lim_{x \rightarrow 0^{+}}x^x$ حال داریم :
( توجه : در خط سوم از قاعده هوپیتال استفاده شده است )
$$\begin{align}Ln(A)&=lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ xLn\ x\\
&=lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ \frac{Ln\ x}{\frac{1}{x}}\\
&=lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\\
&=0
\end{align} $$
پس $Ln(A)=0$ بنابراین $A=e^0=1$ .
اما چرا می گوییم$0^0$ مبهم است . فرض کنید $f,g$ دو تابع هستند که $lim_{x \rightarrow a}\ f(x)=0$ و $lim_{x \rightarrow a}\ g(x)=0$
آنگاه می گوییم $lim_{x \rightarrow a}\ f(x)^{g(x)}$ مبهم است زیرا نمی توان به صراحت بیان کرد که حاصل حد چه عددی است و باید با تکنیک های حساب دیفرانسیل آنرا رفع ابهام کرد تا حاصل حد را بدست آورد یا متوجه شویم که حد وجود ندارد . به مثال زیر توجه نمایید :
$$lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ x^{\frac{1}{ln\ x}}=?$$
داریم $lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ x =0$ و $lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ \frac{1}{ln\ x} =0$ پس $$lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ x^{\frac{1}{ln\ x}}$$ مبهم است . و باید رفع ابهام شود و بعد از رفع ابهام به همان روش بالا داریم :
$$ lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ x^{\frac{1}{ln\ x}}=e $$
که می بینیم مانند مثال بالا حاصل حد عدد $1$ نشد .
