به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
255 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط فرید

فرض کنید $f(x)=\sqrt{x-2}+3$ و $g(x)=-\sqrt{1-x}-2$ دو تابع باشند.

آیا توابع $f+g,f-g,fg,f/g,g/f,f\circ g, g\circ f$ تعریف شده اند؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein

نخست اینکه تابع تهی بر روی دامنهٔ ناتهی نداریم!

یک نگاشت با دامنهٔ A و هم‌دامنهٔ B را یک تابع بر روی A می‌نامیم هر گاه دو شرط زیر برقرار باشد؛

  1. این نگاشت بر روی کل A تعریف شده باشد.
  2. یک عضو از دامنه را دقیقاً به یک عضو از هم‌دامنه بنگارد.

یک نگاشت از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان به چشم رابطه که زیرمجموعه‌ای از حاصلضرب دکارتی $A\times B$ است دید لذا تهی یک نوع رابطهٔ بدیهی از A به B است و در نتیجه یک نگاشت بدیهی نیز دیده می‌شود ولی یک تابع از A به B نیست.

در مورد نمونهٔ شما، هیچ یک از این ترکیب‌ها تعریف نمی‌شوند. می‌توانید بگوئید نگاشت تهی یا تابع تهی بر روی مجموعهٔ تهی (نه تابع تهی بر روی چیز دیگری) می‌شود یا بگوئید دامنهٔ تابع حاصل این ترکیب‌ها تهی می‌شود. ولی گفتن اینکه حاصل نگاشت تهی یا دامنهٔ تابع حاصل تهی می‌شود یا اینکه بگوئید این ترکیب‌ها تعریف نمی‌شوند هیچ تفاوتی نمی‌سازد.

توسط fardina
+1
@AmirHosein

تابع تهی، تابعی است با دامنه ی تهی. و در شرایط این مساله  اشتراک دامنه ها تهی است. پس می توان گفت حاصل هر کدام از آنها تابع تهی است. چه استدلالی برای تعریف نشدن دارید؟
توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@fardina در واقع «تعریف نشدن» در اینجا را چه تعریف می‌کنید؟
شاید از دیدی پسند نگردد که زمانی‌که دامنهٔ ترکیب دو تابع تهی می‌شود، بگوئیم تریکب این دو تابع تعریف نمی‌شود ولی به هر حال این اصطلاح رایج است و در مدرسه نیز استفاده می‌شود. فکر کنم بشود از کتاب‌های ریاضی‌عمومی نیز نمونه‌ای یافت که به این منظور «تعریف نشدن» را به کار برده باشند، اما چون نگشته‌ام نمی‌توانم فعلاً استناد دهم. باشد سر فرصت جستجویی انجام می‌دهیم. اگر شما زودتر نتیجه‌ای یافتید مرا ناآگاه نگذارید.
توسط fardina
+1
@AmirHosein
همین الان داشتم این سوال رو مینوشتم که منظورتون از تعریف نشدن چیست؟ :)
شما نوشتید:
"هیچ یک از این ترکیب‌ها تعریف نمی‌شوند. "

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...