مجموع دو تابع که اشتراک دامنه اشان تهی است تعریف نشده است یا تابع تهی می شود؟

Question

فرض کنید $f(x)=\sqrt{x-2}+3$ و $g(x)=-\sqrt{1-x}-2$ دو تابع باشند.

آیا توابع $f+g,f-g,fg,f/g,g/f,f\circ g, g\circ f$ تعریف شده اند؟

Answer 1

نخست اینکه تابع تهی بر روی دامنهٔ ناتهی نداریم!

یک نگاشت با دامنهٔ A و هم‌دامنهٔ B را یک تابع بر روی A می‌نامیم هر گاه دو شرط زیر برقرار باشد؛

1. این نگاشت بر روی کل A تعریف شده باشد.
2. یک عضو از دامنه را دقیقاً به یک عضو از هم‌دامنه بنگارد.

یک نگاشت از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان به چشم رابطه که زیرمجموعه‌ای از حاصلضرب دکارتی $A\times B$ است دید لذا تهی یک نوع رابطهٔ بدیهی از A به B است و در نتیجه یک نگاشت بدیهی نیز دیده می‌شود ولی یک تابع از A به B نیست.

در مورد نمونهٔ شما، هیچ یک از این ترکیب‌ها تعریف نمی‌شوند. می‌توانید بگوئید نگاشت تهی یا تابع تهی بر روی مجموعهٔ تهی (نه تابع تهی بر روی چیز دیگری) می‌شود یا بگوئید دامنهٔ تابع حاصل این ترکیب‌ها تهی می‌شود. ولی گفتن اینکه حاصل نگاشت تهی یا دامنهٔ تابع حاصل تهی می‌شود یا اینکه بگوئید این ترکیب‌ها تعریف نمی‌شوند هیچ تفاوتی نمی‌سازد.

Comments

@AmirHosein

تابع تهی، تابعی است با دامنه ی تهی. و در شرایط این مساله  اشتراک دامنه ها تهی است. پس می توان گفت حاصل هر کدام از آنها تابع تهی است. چه استدلالی برای تعریف نشدن دارید؟

---

@fardina در واقع «تعریف نشدن» در اینجا را چه تعریف می‌کنید؟
شاید از دیدی پسند نگردد که زمانی‌که دامنهٔ ترکیب دو تابع تهی می‌شود، بگوئیم تریکب این دو تابع تعریف نمی‌شود ولی به هر حال این اصطلاح رایج است و در مدرسه نیز استفاده می‌شود. فکر کنم بشود از کتاب‌های ریاضی‌عمومی نیز نمونه‌ای یافت که به این منظور «تعریف نشدن» را به کار برده باشند، اما چون نگشته‌ام نمی‌توانم فعلاً استناد دهم. باشد سر فرصت جستجویی انجام می‌دهیم. اگر شما زودتر نتیجه‌ای یافتید مرا ناآگاه نگذارید.

---

@AmirHosein
همین الان داشتم این سوال رو مینوشتم که منظورتون از تعریف نشدن چیست؟ :)
شما نوشتید:
"هیچ یک از این ترکیب‌ها تعریف نمی‌شوند. "