به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
7,121 بازدید
در دبیرستان توسط Alireza Zamani

ارتفاع و حجم چهاوجهی منتظم به طول یال $a$ را بیابید. (اثبات کامل)

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده

یک چهار وجهی منتظم در واقع هرمی است که هر وجه آن مثلث متساوی الاضلاع است همانگونه که در شکل زیر مشاهده می کنید : enter image description here

حال فرض کنید طول هر ضلع آن $a$ است . ابتدا به سه نکته زیر توجه نمایید :

$1$ : حجم هرم که مساحت قاعده آن $S$ و ارتفاع آن $h$ است برابر است با : $$V=\frac{1}{3}Sh$$ $2$ : مساحت مثلث متساوی الاضلاعی که طول ضلع آن $a$ است برابر است با : $$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ $3$ : در مثلث $ABC$ که طول اضلاع آن $a,b,c $ است داریم : $$a^2=b^2+c^2-2ab\ cos \hat{A} $$ $$b^2=a^2+c^2-2ab\ cos \hat{B}$$ $$ c^2=a^2+b^2-2ab\ cos \hat{C} $$ حال حجم چهر وجهی منتظم را بدست می آوریم . توجه داشته باشیم که قاعده چهر وجهی منتظم یک مثلث متساوی الاضلاع به طول ضلع $a$ است پس مساحت قاعده آن برابر است با $ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ پس برای محاسبه حجم چهار وجهی منتظم کافی است ارتفاع آن را بدست آوریم ارتفاع رسم شده از راس $A$ را که بر قاعده $OBC$ فرود می آید را در نظر می گیریم و فرض کنیم پای عمود نقطه $H$ است . به شکل زیر توجه کنید : enter image description here

نقطه $H$ مرکز مثلث متساوی الاضلاع $OBC$ است . ابتدا طول پاره خط $HC$ را بدست می آوریم . به شکل زیر توجه کنید : enter image description here فرض کنید $HC = OH = b$ طبق نکته $3$ داریم : $$a^2=b^2+b^2-2b^2cos120$$ $$ \Rightarrow b=\frac{\sqrt{3}}{3}a$$ پس $HC = \frac{\sqrt{3}}{3}a$ . حال طبق قضیه فیثاغورث داریم : $$AH^2+HC^2=a^2$$ $$ \Rightarrow AH^2=a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2$$ $$ \Rightarrow AH=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$$ بنابراین حجم چهار وجهی منتظم برابر است با : $$V=\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2)(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a)=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...