درازای کمان روبروی یک زاویهٔ داخلی یک دایره چقدر است و همینطور نسبت مساحت قطاع متناظرش به درازای این کمان؟

Question

یک دایره بامرکز $O$ شعاع $r$ در نطر بگیرید. دونقطه از این دایره را انتخاب می‌کنیم به نام‌های $A$ و $B$ و این دو نقطه را به مرکز دایره متصل می‌کنیم. اندازهٔ زاویهٔ $AOB$ را با $\alpha$ نشان دهید. قسمتی از محیط دایره که از $A$ شروع و به $B$ پایان می‌يابد و روبروی زاویه‌‌مان است، یک کمان است، طول این کمان را با $l$ نمایش دهید. مقدار $l$ را بدست آورید. قطاع حاصل شده چند برابر طول کمان؟

Comments

به کدام قسمت شعاع وصل می کنیم؟؟؟؟؟؟فکر کنم منظور شما این باشد که به مر کز وصل می کنیم.

---

درسته ..
ویرایش کردم

---

منظورتان از قطاع در اینجا پاره‌خط AB است یا چیز دیگری؟ زیرا در پرسش دیگری‌تان منظورتان از قطاع بخشی از دایره بود که بین دو شعاع OA و OB و کمان AB ایجاد می‌شد ولی از آنجا که حرف از درازا می‌زنید تصورم بر این است که پاره‌خط AB را اشاره دارید. اگر اشتباه برداشت کرده‌ام بگوئيد تا پاسخ را تغییر دهم.

---

ممنون استاد بابت پاسخ .
منظورم از قطاع :قطاع مساحتی است که ی زاویه مرکزی ایجاد میکند .

Answer 1

نخست اینکه برای محاسبهٔ کمان، دقت کنید که محیط دایره $2\pi r$ است که $r$ شعاع دایره‌تان است. کمان شما دقیقا $\frac{\alpha}{2\pi}$ از این محیط را می‌پوشاند پس کمان مورد نظر $\frac{\alpha}{2\pi}\times 2\pi r$ یعنی $\alpha r$ است زمانی‌که زاویه را بر حسب رادیان اندازه‌گرفته باشید نه درجه یا گرادیان که در غیر اینصورت باید تبدیل واحد انجام دهید.

اکنون برای محاسبهٔ مساحت قطاع، مساحت دایره $\pi r^2$ است. این قطاع دقیقا $\frac{\alpha}{2\pi}$ از مساحت دایره را می‌پوشاند پس مساحت قطاع مورد نظر $\frac{\alpha}{2\pi}\pi r^2$ یعنی $\frac{\alpha}{2}r^2$ است.

پس نسبت مساحت قطاع به درازای کمان برابر است با $\frac{\frac{\alpha}{2}r^2}{\alpha r}=\frac{r}{2}$.