به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
71 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Alireza Zamani
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر به ازاء $ x $ ، $f(x+2) = f(-x)$ و $ D_{f}=R $ آنگاه :

1) دوره تناوب تابع $f(x)$ برابر 2 است.

2) دوره تناوب تابع $f(x)$ برابر 1 است.

3) دوره تناوب تابع $f(x)$ برابر 4 است.

4) تابع $f(x)$ الزاما متناوب نیست.

دارای دیدگاه توسط fardina
این سوال چه ارتباطی با "مثلثات" داره که به عنوان برچسب انتخاب کردید؟
دارای دیدگاه توسط Alireza Zamani
ویـــــــــــــــــــــــــــــــرایــــــــــــــــــــــــــش کــــــــــــــــــردم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

بیاییم این تابع را بررسی کنیم. $$\begin{array}{c}f(0)=f(2)\\f(1)=f(1)\\f(-2)=f(4)\\f(0.5)=f(1.5)\\ \vdots\end{array}$$

نخست چند مقداردهی برای داشتن یک حس به این تابع انجام دهیم، می‌بینیم که اگر نمودار این تابع نسبت به خط $x=1$ تقارن داشته‌باشد آنگاه شرط تابع برقرار است. پس تابع دوضابطه‌ای زیر نیز در شرط صدق می‌کند. $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-1 & ;\;x\geq 1\\1-x & ;\;x< 1\end{array}\right.$$ همان‌گونه که می‌بینید این تابع اصلا متناوب نیست. پس گزینهٔ دال درست است.

و اما اثبات اینکه شرط $f(x+2)=f(-x)$ و اینکه دامنهٔ $f$ کل $\mathbb{R}$ یاشد هم‌ارز با این است که نمودار $y=f(x)$ نسبت به خط $x=1$ متقارن باشد. نخست توجه کنید که $$f(x)=f(-(-x))=f((-x)+2)=f(x-2)$$ رابطهٔ $f(x)=f(2-x)$ نیز به روش یکسان رابطهٔ پیشین یعنی رابطهٔ شرط پرسش، $f(-x)=f(x+2)$ را نتیجه می‌دهد پس فرقی ندارد که با کدام شکل کار کنیم. اما شرط متقارن بودن یک تابع نسبت به خط عمودی $x=1$ با کمک نمادها به چه شکلی بیان می‌شود؟

تقارن نسبت به خط $x=1$ یعنی اگر مقدار تابع برای $x$ می‌شود $f(x)$ باید برای نقطهٔ دیگری از محور افقی که از یک فاصله‌اش برابر فاصلهٔ $x$ از یک است نیز مقدار تابع بشود $f(x)$. اگر $x$ از یک بزرگتر است آنگاه فاصله‌اش از یک می‌شود $x-1$ و نقطه‌ای که دنبالش می‌گردیم برابر است یک که از آن این فاصله را کاهش داد‌باشیم تا آن طرف این خط تقارن بیافتد یعنی $1-(x-1)=2-x$. اگر $x$ از یک کوچکتر باشد، فاصله برابر است با $1-x$، نقطه‌ای که دنبالش می‌گردیم برابر است با یک که به آن این فاصله افزوده‌شده‌باشد یعنی $1+(1-x)=2-x$. در نتیجه حرفی که زدیم یعنی $f(2-x)=f(x)$ که دقیقا همان شرط پرسش است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...