کدام گزینه پیرامون تناوب تابع زیر درست است؟

Question

اگر به ازاء $ x $ ، $f(x+2) = f(-x)$ و $ D_{f}=R $ آنگاه :

1) دوره تناوب تابع $f(x)$ برابر 2 است.

2) دوره تناوب تابع $f(x)$ برابر 1 است.

3) دوره تناوب تابع $f(x)$ برابر 4 است.

4) تابع $f(x)$ الزاما متناوب نیست.

Comments

این سوال چه ارتباطی با "مثلثات" داره که به عنوان برچسب انتخاب کردید؟

---

ویـــــــــــــــــــــــــــــــرایــــــــــــــــــــــــــش کــــــــــــــــــردم.

Answer 1

بیاییم این تابع را بررسی کنیم. $$\begin{array}{c}f(0)=f(2)\\f(1)=f(1)\\f(-2)=f(4)\\f(0.5)=f(1.5)\\ \vdots\end{array}$$

نخست چند مقداردهی برای داشتن یک حس به این تابع انجام دهیم، می‌بینیم که اگر نمودار این تابع نسبت به خط $x=1$ تقارن داشته‌باشد آنگاه شرط تابع برقرار است. پس تابع دوضابطه‌ای زیر نیز در شرط صدق می‌کند. $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-1 & ;\;x\geq 1\\1-x & ;\;x< 1\end{array}\right.$$ همان‌گونه که می‌بینید این تابع اصلا متناوب نیست. پس گزینهٔ دال درست است.

و اما اثبات اینکه شرط $f(x+2)=f(-x)$ و اینکه دامنهٔ $f$ کل $\mathbb{R}$ یاشد هم‌ارز با این است که نمودار $y=f(x)$ نسبت به خط $x=1$ متقارن باشد. نخست توجه کنید که $$f(x)=f(-(-x))=f((-x)+2)=f(x-2)$$ رابطهٔ $f(x)=f(2-x)$ نیز به روش یکسان رابطهٔ پیشین یعنی رابطهٔ شرط پرسش، $f(-x)=f(x+2)$ را نتیجه می‌دهد پس فرقی ندارد که با کدام شکل کار کنیم. اما شرط متقارن بودن یک تابع نسبت به خط عمودی $x=1$ با کمک نمادها به چه شکلی بیان می‌شود؟

تقارن نسبت به خط $x=1$ یعنی اگر مقدار تابع برای $x$ می‌شود $f(x)$ باید برای نقطهٔ دیگری از محور افقی که از یک فاصله‌اش برابر فاصلهٔ $x$ از یک است نیز مقدار تابع بشود $f(x)$. اگر $x$ از یک بزرگتر است آنگاه فاصله‌اش از یک می‌شود $x-1$ و نقطه‌ای که دنبالش می‌گردیم برابر است یک که از آن این فاصله را کاهش داد‌باشیم تا آن طرف این خط تقارن بیافتد یعنی $1-(x-1)=2-x$. اگر $x$ از یک کوچکتر باشد، فاصله برابر است با $1-x$، نقطه‌ای که دنبالش می‌گردیم برابر است با یک که به آن این فاصله افزوده‌شده‌باشد یعنی $1+(1-x)=2-x$. در نتیجه حرفی که زدیم یعنی $f(2-x)=f(x)$ که دقیقا همان شرط پرسش است.