اگر تابع را ساده کنیم می بینیم که تابع همان تابع ثابت $1$ است اما با دامنه $D_f=R- \frac{k \pi }{2}\ ,k \in Z$.از طرفی به راحتی می توان ثابت کرد که هر تابع ثابت با دامنه $R$ متناوب است و هر عدد مثب $T$ دوره تناوب آن اما چون کوچکترین عدد مثبت وجود ندارد پس کوچکترین دوره تناب تابع ثابت نیز وجود ندارد.اما در اینجا نقاطی که در دامنه نیستند تابع را جالب می کنند و اگر شما نمودار را رسم کنید در واقع خط $y=1$ در نقاطی که در دامنه نیستد سوراخ شده است و طول این تکه ها $ \frac{ \pi }{2} $ است.حالا به سادگی می توان نشان داد که برای هر $n \in N$ ، $ \frac{n \pi }{2} $ دوره ای تناوب برای تابع است.
حالا توجه شود که اگر $0<T< \frac{ \pi }{2} $ آنگاه:
$ \frac{ \pi }{2} -T \in D_f, \neg (\frac{ \pi }{2} -T+T= \frac{ \pi }{2} \in D_f) $
این یعنی $T$ نمی تواند یک دوره تناوب تابع باشد.بنابر این کوچکترین دوره تناوب تابع برابر است با $ \frac{ \pi }{2} $.
$ \Box $
