Question

دوره تناوب تابع f(x) را بیابید: $f(x+1)+f(x-1)= \sqrt{2}f(x)$ به نظر می‌رسد با تبدیل xبهx+1وx+2 وایجاد دو رابطه جدید مسئله قابل حل باشد. راه حل من: $f(x+2)+f(x)= \sqrt{2}f(x+1)وf(x+3)+f(x+1)= \sqrt{2}f(x+2)$ رابطه مسئله و رابطه اخیر را جمع میکنیم. $f(x+3)+2f(x+1)+f(x-1)= \sqrt{2}(f(x)+f(x+2))= \sqrt{2} ( \sqrt{2} f(x+1))$ درنتیجه: f(x+3)+f(x-1)=0وf(x+6)+f(x+3)=0 دو رابطه اخیر را از هم کم میکنیم: f(x+6)=f(x-1) در نتیجه:f(x+8)=f(x)و T=8.

Comments

@mansour اینکه در تمام سوالاتتون می فرمایید :بنظر می رسد با فلان کار قابل حل هست کاش راه حل تونو می نوشتید.

Answer 1

درود. طبق فرض داریم:

$$f(x+1)+f(x-1)= \sqrt{2}f(x) \mid (1)$$ به جای x قرار دهید x+1 $$f(x+2)+f(x)= \sqrt{2}f(x+1) \mid (2)$$ سپس بجای x قرار دهید x-1 $$f(x)+f(x-2)= \sqrt{2}f(x-1) \mid (3)$$ رابطه یک را در $\sqrt{2}$ ضرب کرده و با رابطه های دو و سه جمع می کنیم. نتیجه میشود: $$f(x+2)+f(x-2)=0$$ بجای x قرار دهید x-2 و بار دیگر x+2 $$f(x)+f(x-4)=0$$ $$f(x+4)+f(x)=0$$ چون هر دو عبارت برابر با صفرند آن ها را مساوی قرار می دهیم: $$f(x)+f(x-4)=f(x+4)+f(x)$$ $$f(x-4)=f(x+4)$$ حال بجای x قرار دهید x+4 $$f(x)=f(x+8)$$ لذا پاسخ برابر 8 است.