قرار دهید:
$f_1(x):= \sqrt{149-140 \sqrt{1-x} } ,f_2(x):= \sqrt{58-42 \sqrt{x} } $
واضح است که $0 \leq x \leq 1$ .(چرا؟)حالا می توان قرار داد:
$x:=sin^2( \theta) ,0 \leq \theta \leq \frac{ \pi }{2} $(?)
$ \Rightarrow f_1(x)= \sqrt{149-140cos( \theta )}= \sqrt{10^2+7^2-2.10.7cos( \theta )}$
$,f_2(x)= \sqrt{7^2+3^2-2.7.3sin( \theta ) }= \sqrt{7^2+3^2-2.7.3.cos( \frac{ \pi }{2} -\theta ) }$
این استدلال قضیۀ کسینوس ها را به ما یادآوری میکند.حالا زاویۀ $ \angle ABC$ را طوری رسم کنید که $BC=7$ افقی و $BA=10$ در قسمت بالای $BC$ باشد.
در گام بعدی زاویۀ $ \angle CBD= \frac{ \pi }{2} - \theta $ را طوری رسم کنید که پایین زاویۀ قبلی باشد.از روی شکل (گرچه استدلال ضعیفی است ) واضح است که:
$ \angle ABD= \frac{ \pi }{2} ,f_1(x)=AC,f_2(x)=CB$
حالا در چهارضلعی $ABDC$ که قطر $AD$ شکل را به دو مثلث تقسیم می کند ، مثلث $ABD$ قائم الزاویه است و:
$AD= \sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}, f_1(x)+f_2(x)> AD=\sqrt{109} $
اگر $ \theta $ را کم کنیم حالتی پیش میاد (کجا؟) که $A,C,D$ همراستا می شوند و روی $AD$ قرار می گیرند و این حالت مطلوب ماست.
$\Rightarrow Minf(x)= \sqrt{109}$
$ \Box $