حداقل تابع $f(x)=\sqrt{149-140\sqrt{1-x}}+\sqrt{58-42\sqrt{x}}$ را حساب کنید

Question

حداقل تابع $f(x)=\sqrt{149-140\sqrt{1-x}}+\sqrt{58-42\sqrt{x}}$ در $x\in\mathbb{R}$ را حساب کنید.

از انجا که این تابع پیوسته است حداقل این تابع در نقاط انتهایی یا نقاطی با شیب صفر است. دامنه این تابع که $[0,1]$ است. من تلاش کردم مشتق این تابع را حساب کنم که بدست امد:

$$f'(x)=\dfrac{35}{\sqrt{149-140\sqrt{1-x}}\sqrt{1-x}}-\frac{21}{2\sqrt{58-42\sqrt{x}}\sqrt{x}}$$ که برای پیدا کردن جواب های معادله زیر به مشکل خوردم: $$\dfrac{35}{\sqrt{149-140\sqrt{1-x}}\sqrt{1-x}}-\frac{21}{2\sqrt{58-42\sqrt{x}}\sqrt{x}} = 0$$

Answer 1

قرار دهید:

$f_1(x):= \sqrt{149-140 \sqrt{1-x} } ,f_2(x):= \sqrt{58-42 \sqrt{x} }$

واضح است که $0 \leq x \leq 1$ .(چرا؟)حالا می توان قرار داد:

$x:=sin^2( \theta) ,0 \leq \theta \leq \frac{ \pi }{2}$(?)

$\Rightarrow f_1(x)= \sqrt{149-140cos( \theta )}= \sqrt{10^2+7^2-2.10.7cos( \theta )}$

$,f_2(x)= \sqrt{7^2+3^2-2.7.3sin( \theta ) }= \sqrt{7^2+3^2-2.7.3.cos( \frac{ \pi }{2} -\theta ) }$

این استدلال قضیۀ کسینوس ها را به ما یادآوری میکند.حالا زاویۀ $\angle ABC$ را طوری رسم کنید که $BC=7$ افقی و $BA=10$ در قسمت بالای $BC$ باشد.

در گام بعدی زاویۀ $\angle CBD= \frac{ \pi }{2} - \theta$ را طوری رسم کنید که پایین زاویۀ قبلی باشد.از روی شکل (گرچه استدلال ضعیفی است ) واضح است که:

$\angle ABD= \frac{ \pi }{2} ,f_1(x)=AC,f_2(x)=CB$

حالا در چهارضلعی $ABDC$ که قطر $AD$ شکل را به دو مثلث تقسیم می کند ، مثلث $ABD$ قائم الزاویه است و:

$AD= \sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}, f_1(x)+f_2(x)> AD=\sqrt{109}$

اگر $\theta$ را کم کنیم حالتی پیش میاد (کجا؟) که $A,C,D$ همراستا می شوند و روی $AD$ قرار می گیرند و این حالت مطلوب ماست.

$\Rightarrow Minf(x)= \sqrt{109}$

$\Box$