دامنه و برد تابع $f\big(x\big) = \frac{3x}{ \sqrt{ x^{2} -1} } $ را به دست آورید

Question

دامنه و برد تابع را به دست آورید: $$f\big(x\big) = \frac{3x}{ \sqrt{ x^{2} -1} } $$ و اما تلاش من برای حل مسئله : دامنه تابع برابر با $ \big(- \infty ,-1\big) \cup \big(1,+ \infty \big) $ است. این را خودم هم پیدا کردم. برد تابع را در قسمت جواب ها خواندم دیدم زده است که مجموعه اعداد حقیقی منهای $ [-3,3] $ ممنون میشم اگه توضیح بدین....

Answer 1

$ y^{2}= \frac{9x^2}{x^2-1} \Rightarrow x^{2}= \frac{y^2}{y^2-9} $

ازدامنه $ x^{2}-1> 0 $ پس $ x^{2}> 1 $ لذا

$ \frac{y^2}{y^2-9}> 1 $حالا

$ \frac{9}{y^2-9}> 0 \Rightarrow y^2-9> 0 \Rightarrow y< -3 \vee y> 3 $

درنتیجه$ R_{f}=(- \infty ,-3) \cup (3,+ \infty ) $

Answer 2

مشتق تابع را بگیرید $f'(x)=\frac{-3}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}$ آن را بر روی دامنه‌ای که یافتید تعیین علامت کنید. برای $x\geq 1$ تابع کاهشی اکید (نزولی اکید) است و در $x=1^+$ مجانب عمودی دارد و در $x\rightarrow +\infty$ به ۳ میل می‌کند. پس تابع‌تان مجموعهٔ $(1,+\infty)$ را به $(3,\infty)$ می‌نگارد. به روش مشابه $(-\infty,-1)$ را به $(-\infty,-3)$ می‌نگارد. پس بُردِ تابع‌تان $\mathbb{R}-[-3,3]$ می‌شود.