$ f(1/x)+f( \frac{x+1}{x-1} )+f( \frac{x-1}{x+1} )=x $ ضابطه تابع را به دست آورید.

Question

اگر $ f(1/x)+f( \frac{x+1}{x-1} )+f( \frac{x-1}{x+1} )=x $ باشد آنگاه $f(x) $را بدست آورید.

Answer 1

باتوجه به صورت تابع داده شده به جای $ x $ عبارت $ \frac{x-1}{x+1} $ را قرار می دهیم لذا داریم: $$ f( \frac{x+1}{x-1})+f( \frac{1}{x})+f(x)= \frac{x-1}{x+1}\tag{1} $$ حال یک بار دیگر باتوجه به صورت تابع داده شده به جای $ x $ عبارت $ \frac{x+1}{x-1} $ را قرار می دهیم لذا داریم: $$ f( \frac{x-1}{x+1})+f( x)+f(\frac{1}{x})= \frac{x+1}{x-1}\tag{2} $$ حال با جمع دو معادله بدست آمده $ (1),(2) $ در بالا و استفاده از فرض سوال داریم: $ f( \frac{x+1}{x-1})+f( \frac{1}{x})+f(x)+ f( \frac{x-1}{x+1})+f( x)+f(\frac{1}{x})= \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1} $ $$\Rightarrow 2f(x)+2f( \frac{1}{x})+x- f( \frac{1}{x}) = \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1} $$ $$\Rightarrow 2f(x)+f( \frac{1}{x}) = \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1} -x $$ حال به جای $ x $ عبارت $ \frac{1}{x} $ را قرار میدهیم لذا $$2f( \frac{1}{x})+f( x) = \frac{1-x}{x+1}+\frac{x+1}{1-x} - \frac{1}{x}$$ اگر معادله قبل را در $ -2 $ ضرب کنیم و با این معادله جمع کنیم دارم $$-3f( x) = -2(\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1} -x )+ \frac{1-x}{x+1}+\frac{x+1}{1-x} - \frac{1}{x}$$
و شما به راحتی می توانید این عبارت را ساده و بر $ -3 $ تقسیم کنید تا به جواب برسید