$f(1/x)+f( \frac{x+1}{x-1} )+f( \frac{x-1}{x+1} )=x$ ضابطه تابع را به دست آورید.

Question

اگر $f(1/x)+f( \frac{x+1}{x-1} )+f( \frac{x-1}{x+1} )=x$ باشد آنگاه $f(x)$را بدست آورید.

Answer 1

باتوجه به صورت تابع داده شده به جای $x$ عبارت $\frac{x-1}{x+1}$ را قرار می دهیم لذا داریم:

$$f( \frac{x+1}{x-1})+f( \frac{1}{x})+f(x)= \frac{x-1}{x+1}\tag{1}$$ حال یک بار دیگر باتوجه به صورت تابع داده شده به جای $x$ عبارت $\frac{x+1}{x-1}$ را قرار می دهیم لذا داریم: $$f( \frac{x-1}{x+1})+f( x)+f(\frac{1}{x})= \frac{x+1}{x-1}\tag{2}$$ حال با جمع دو معادله بدست آمده $(1),(2)$ در بالا و استفاده از فرض سوال داریم: $f( \frac{x+1}{x-1})+f( \frac{1}{x})+f(x)+ f( \frac{x-1}{x+1})+f( x)+f(\frac{1}{x})= \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}$ $$\Rightarrow 2f(x)+2f( \frac{1}{x})+x- f( \frac{1}{x}) = \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}$$ $$\Rightarrow 2f(x)+f( \frac{1}{x}) = \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1} -x$$ حال به جای $x$ عبارت $\frac{1}{x}$ را قرار میدهیم لذا $$2f( \frac{1}{x})+f( x) = \frac{1-x}{x+1}+\frac{x+1}{1-x} - \frac{1}{x}$$ اگر معادله قبل را در $-2$ ضرب کنیم و با این معادله جمع کنیم دارم $$-3f( x) = -2(\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1} -x )+ \frac{1-x}{x+1}+\frac{x+1}{1-x} - \frac{1}{x}$$
و شما به راحتی می توانید این عبارت را ساده و بر $-3$ تقسیم کنید تا به جواب برسید