به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
714 بازدید
در دانشگاه توسط teacher1

با سلام.لطفا مثالی برای تابع مطلقا پیوسته بزنید . چه گونه میتوان توابع مطلقا پیوسته را تشخیص داد؟( مثلا به کمک مشتق گیری یا....)

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

اگر بخواهیم نشان دهیم یک تابع پیوسته است چکار می کنیم؟ بررسی می کنیم که آیا در تعریف صدق می کند یا خیر.

برای پیوستگی مطلق هم همینطور است باید تعریف را در مورد آن بررسی کرد.

مثال های خیلی ساده عبارت اند از توابع ثابت و همانی که به وضوح مطلقا پیوسته هستند.

به عنوان یک مثال غیربدیهی می توان $f(x)=\sqrt x$ را در نظر بگیرید و ثابت می کنیم که روی $[0,1]$ مطلقا پیوسته است.

فرض $\epsilon>0$ دلخواه داده شده باشد. و قرار دهید $\delta=\epsilon^2$ . دراینصورت برای هر مچموعه متناهی از فاصله های مجزای $(c_1,d_1),...,(c_n,d_n)$ که $\sum_1^n d_i-c_i< \delta=\epsilon^2$ ثابت می کنیم که $\sum \sqrt{d_i}-\sqrt{c_i}< \epsilon$ .

قرار دهید $a=\frac{\epsilon ^2}4$ حال مجموع $ \sum \sqrt{d_i}-\sqrt{c_i} $ را به دو مجموع تفکیک می کنیم یکی بازه هایی که در $[0,a]$ قرار می گیرند و دیگری در $[a, 1]$ . اگر $a$ درون یکی از بازه های $[c_i,d_i]$ قرار گیردما بازه را در $a$ میشکنیم. فرض کنید $a=d_m$ که $1\leq m\leq n$ .

جمع را روی بازه هایی که در $[0,a]$ هستند در نظر بگیریم داریم:

$$\begin{align}\sum_1^m |\sqrt{d_i}-\sqrt{c_i}|&= \sum_1^m \sqrt{d_i}-\sqrt{c_i}\\ &\leq \sqrt a=\frac \epsilon 2\end{align}$$

و جمع روی بازه هایی که در $[a,1]$ هستند داریم:

$$\begin{align}\sum_{m+1}^n |\sqrt{d_i}-\sqrt{c_i}|&=\sum_{m+1}^n |\sqrt{d_i}-\sqrt{c_i}|\frac{|\sqrt{d_i}+\sqrt{c_i}|}{|\sqrt{d_i}+\sqrt{c_i}}\\ &=\sum_{m+1}^n \frac{d_i-c_i}{\sqrt{d_i}+\sqrt{c_i}}\\ &\leq \sum_{m+1}^n \frac{d_i-c_i}{2\sqrt a}\\ &< \frac 1{2\epsilon} \epsilon^2=\frac \epsilon 2\end{align}$$

این دو نشان می دهد تابع مطلقا پیوسته است. (این مثال رو از اینجا گرفتم)

اما در مورد اینکه بتونید به کمک مشتق پیوستگی مطلق رو تشخیص بدید کافی است قضیه اساسی حسابان برای انتگرال های لبگ رو به یاد بیارید:

اگر $-\infty< a< b< \infty$ و $F:[a,b]\to \mathbb C$ یک تابع باشد عبارات زیر هم ارزند:

  1. $F$ روی $[a,b]$ مطلقا پیوسته است.

  2. برای یک $f\in L^1([a,b],m)$ داریم $F(x)=F(a)+\int_a^x f(t)dt$

  3. $F$ روی $[a, b]$ تقریبا همه جا مشتق پذیر است و داریم $F'\in L^1([a, b], m)$ . همچنین $F(x)=F(a)+\int_a^x F'(t)dt$ .

که مثلا می توان برای $g(x)=\sqrt x$ دید که در مورد سوم صدق می کند لذا مطلقا پیوسته است.

برای تشخیص اینکه تابعی مطلقا پیوسته نیست می توانید از ابزارهایی دیگر هم کمک بگیرید مثلا اینکه می دانیم چنانچه تابعی مطلقا پیوسته باشد آنگاه پیوسته یکنواخت است پس اگر تابعی پیوسته یا پیوسته یکنواخت نباشد به وضوح مطلقا پیوسته نیست.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...