اثبات شرکت پذیری قانون تفاضل متقارن در مجموعه ها

Question

میشه شرکت پذیری قانون تفاضل متقارن در مجموعه ها رو اثبات کنید:

$A \Delta (B \Delta C)=C \Delta(A \Delta B)$

برای کسایی هم که به قانون تفاضل متقار در مجموعه ها اشنایی ندارند ان را در پایین اورده ام:

$A \Delta B=(A-B)\cup(B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)$

در ضمن اثباتش با نمودار ون یا عضو نویسی نباشه.

Answer 1

گام به گام اثبات رو انجام میدیم . امیداورم از طولانی بودن آن خسته نشید :)

مرحله اول:

$$( A \Delta B)\Delta C =$$ $$ \{[(A \Delta B)] \cup C\}- \{[(A \Delta B)] \cap C\}=$$ $$ \{[(A \Delta B)] \cup C\}\cup \{[(A \Delta B)] \cap C\}'=$$ $$\{[(A \cup B) \cap (A' \cup B')] \cup C\} \cap \{[(A \cup B) \cap (A' \cup B')] \cap C\}'=$$ $$\{[(A \cup B) \cap (A' \cup B')] \cup C\} \cap \{[(A \cup B) \cap (A' \cup B')]' \cap C'\}=$$ $$(A \cup B \cup C) \cap (A' \cup B' \cup C) \cap \{[(A \cup B )' \cup (A' \cup B')]' \cup C'\}=$$ $$(A \cup B \cup C) \cap (A' \cup B' \cup C) \cap \{[(A' \cap B' ) \cup (A \cap B)] \cup C'\}=$$ $$(A \cup B \cup C) \cap (A' \cup B' \cup C) \cap \{[(A' \cap B' ) \cup A] \cap [ (A '\cap B') \cup B] \cup C'\}$$ $$=(A \cup B \cup C) \cap (A' \cup B' \cup C) \cap \{[(B' \cup A) \cap (A' \cup B)] \cup C'\}$$ $$=(A \cup B \cup C) \cap (A' \cup B' \cup C) \cap (A \cup B' \cup C') \cap ( A'\cup C' \cup B )$$

مرحله دو:

$$A\Delta (B \Delta C)= $$ $$A \Delta [(B \cup C )-( B\cap C)] =$$ $$A \Delta [(B \cup C ) \cap ( B\cap C)'] =$$ $$A \Delta [(B \cup C ) \cap ( B'\cap C')]= $$ $$\{ A\cup [(B \cup C)(B' \cup C')]\}- \{ A \cap [(B \cup C) \cap (B' \cup C')]\} =$$ $$\{ A\cup [(B \cup C)(B' \cup C')]\} \cap \{ A \cap [(B \cup C) \cap (B' \cup C')]\}' =$$ $$\{ A\cup [(B \cup C) \cap (B' \cup C')]\}\cap \{ A' \cup [(B \cup C) \cap (B' \cup C')]\}' =$$ $$\{ A\cup [(B \cup C)(B' \cup C')]\}\cap \{ A \cap [(B \cup C) \cap (B' \cup C')]\}' =$$ $$(A \cup B \cup C) \cap ( A\cup B' \cap C' )\cup \{ A \cap [(B' \cap C') \cap (B \cap C)]\}' =$$ $$(A \cup B \cup C) \cap ( A\cup B' \cup C' )\cap \{ A' \cup [B' \cap C' \cup B] \cap [(B' \cap C') \cup C]\} $$ $$=(A \cup B \cup C) \cap ( A\cup B' \cup C' )\cap \{A' \cup [(C' \cup B) \cap (B' \cup C)] \}$$

$$=(A \cup B \cup C) \cap ( A\cup B' \cup C' )\cap ( A'\cup C' \cup B) \cap ( A'\cup B' \cup C )$$ مرحله یک و دو رو نیگا :

$$(A \Delta B)\Delta C=A\Delta(B \Delta C)$$

پایان:)

Comments

اثباتتون اشکال داره:

$(B \cap C)'=B'\cup C'$

شما پریم رو داخل اوردید ولی یاید اشتراک رو به اجتماع تبدیل می کردید که نکردید.