به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
50 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

خاصیت حذف تفاضل متقارن را ثابت کنید. $ A \bigtriangleup B = A \bigtriangleup C \Leftrightarrow B=C$

دارای دیدگاه توسط
در واقع تمام نکته اینجاست که برابریِ تفاضل‌متقارن‌هایی که نوشته‌اید صورتِ پرسش زیر را نتیجه می‌دهد
http://math.irancircle.com/10883/%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA-%DB%8C%DA%A9-%D8%B1%D8%A7%D8%A8%D8%B7%D9%87-%D8%AF%D8%B1-%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87-%D9%87%D8%A7

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

یک عنصر در $B$ بردارید. اگر در $A$ نیز باشد پس در $A\cap B$ است و در نتیجه در $A\Delta B$ نیست. چون در $A\Delta B$ نیست و $A\Delta B$ با $A\Delta C$ برابر است پس در $A\Delta C$ نیز نیست. چه عناصری از $A$ نمی‌توانند در $A\Delta C$ باشند؟ پاسخ $A\cap C$ است پس این عنصر باید در $A\cap C$ و در نتیجه در $C$ بیافتد. ولی اگر از اول این عنصرِ $B$ در $A$ نمی‌بود چه؟ آنگاه در $A\Delta B$ حضور می‌داشت، پس در $A\Delta C$ حضور دارد. عناصرِ $A\Delta C$ که در $A$ نیستند، چه عناصری هستند؟ عناصری از $C$ هستند که در $A\cap C$ نیستند. ولی به هر حال در $C$ هستند پس دوباره عنصرمان در $C$ افتاد. پس تا اینجا ثابت کردیم که $B\subseteq C$. با توجه به تقارن موجود در پرسش با روش مشابه و فقط جابجا کردن حرف‌های $B$ و $C$ در آنچه تا اینجا نوشتیم اثبات می‌شود که $C\subseteq B$. در نتیجه $B=C$. پس سمت چپ، سمت راست را نتیجه داد. اما سمت برعکس که به شدت بدیهی است چون اگر $B=C$ آنگاه $A\cup B=A\cup C$ و $A\cap B=A\cap C$ و سپس تفاضل سمت چپ این دو تساوی با تفاضل سمت راست‌شان برابر خواهد بود که یعنی $A\Delta B=A\Delta C$.

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
کاملا درسته.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...