یک عنصر در $B$ بردارید. اگر در $A$ نیز باشد پس در $A\cap B$ است و در نتیجه در $A\Delta B$ نیست. چون در $A\Delta B$ نیست و $A\Delta B$ با $A\Delta C$ برابر است پس در $A\Delta C$ نیز نیست. چه عناصری از $A$ نمیتوانند در $A\Delta C$ باشند؟ پاسخ $A\cap C$ است پس این عنصر باید در $A\cap C$ و در نتیجه در $C$ بیافتد. ولی اگر از اول این عنصرِ $B$ در $A$ نمیبود چه؟ آنگاه در $A\Delta B$ حضور میداشت، پس در $A\Delta C$ حضور دارد. عناصرِ $A\Delta C$ که در $A$ نیستند، چه عناصری هستند؟ عناصری از $C$ هستند که در $A\cap C$ نیستند. ولی به هر حال در $C$ هستند پس دوباره عنصرمان در $C$ افتاد. پس تا اینجا ثابت کردیم که $B\subseteq C$. با توجه به تقارن موجود در پرسش با روش مشابه و فقط جابجا کردن حرفهای $B$ و $C$ در آنچه تا اینجا نوشتیم اثبات میشود که $C\subseteq B$. در نتیجه $B=C$. پس سمت چپ، سمت راست را نتیجه داد. اما سمت برعکس که به شدت بدیهی است چون اگر $B=C$ آنگاه $A\cup B=A\cup C$ و $A\cap B=A\cap C$ و سپس تفاضل سمت چپ این دو تساوی با تفاضل سمت راستشان برابر خواهد بود که یعنی $A\Delta B=A\Delta C$.
