ترتیب جزئی بودن رابطه ای که در اثبات قضیهٔ ۵ کتاب نظریهٔ مجموعه لین و لین برای خوش ترتیب شدنی بودن هر مجموعه ای تعریف شده

Question

یک مجموعهٔ دلخواهِ $H$ بردارید. تعریف کنید:

$$A^*=\{ (A_0,\leq_0)\mid A_0\subseteq H,(A_0,\leq_0) \textrm{ خوش ترتیب است }\}$$ اکنون رابطهٔ $\leq^\star$ را روی $A^\star$ به صورت زیر تعریف کنید. $$\begin{array}{l} (A_0,\leq_0)\leq^*(A_1,\leq_1)\Longleftrightarrow\text{1,2,3}\\ \text{1) }A_0\subseteq A_1\\ \text{2) }\forall x,y\in A_0\;\colon\; x\leq_0 y\Longrightarrow x\leq_1 y\\ \text{3) }x\in A_1-A_0\Longrightarrow(\,\forall y\in A_0\;\colon\; y\leq_1 x\,) \end{array}$$ این مطلب در اثبات قضیهٔ ۵ بخش ۴ فصل ۷ کتابِ آمده در مرجع استفاده شده است که می‌خواهد اثبات کند که هر مجموعه‌ای را می‌توان خوش‌ترتیب کرد. در تمرین ۵ این بخش، اثبات رابطهٔ جزئی بودن $\leq^\star$ بر روی مجموعهٔ $A^\star$ خواسته‌شده‌است.

برای اثبات جزئا مرتب همیشه سه شرط انعکاسی و تعدی و پادتقارنی را بررسی می‌کنیم. چیزی که من متوجه نمی‌شوم این است که این سه شرطی که در تعریف رابطه آمده‌اند را چطوری باید در اثبات استفاده کنیم؟ باید دانه دانه در هر سه شرط انعکاسی و تعدی و پادتقارنی بررسی بشوند و نشان بدهیم برقرار هستند؟ یا از برقرار بودنشان اطلاع داریم و باید ازشان برای اثبات استفاده بشود؟ لطفا یکی از سه شرط انعکاسی و تعدی و پادتقارنی را بررسی کنید و توضیح دهید تا راهنمایی شوم.

Comments

@saragh79  
پاسخ سوال قبلی شما ویرایش شده. اگه پاسخ رو یاداشت کردید اون رو اصلاح کنید
https://math.irancircle.com/17451/%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA-%DA%A9%D9%86%DB%8C%D8%AF-%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87-%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86-%D9%86%DA%AF%D8%A7%D8%B4%D8%AA%DB%8C-%D8%AF%D9%88%D8%B3%D9%88%DB%8C%DB%8C-%D8%AE%D9%88%D8%AF%D8%B4-%D8%AE%D9%88%D8%AF%D8%B4-%DB%8C%D8%A7%D9%81%D8%AA-%D8%B9%D8%B6%D9%88%DB%8C-%D8%AE%D9%88%D8%AF%D8%B4

Answer 1

فرض کنید $(A_0,\le_0)\in A^*$ برای انعکاسی بودن باید ثابت کنیم که $(A_0,\le_0)\le^* (A_0,\le_0)$. کافیه 3 تا شرط برقرار باشه تا این رابطه نتیجه بشه. شرط 1 برقرار چون $A_0\subseteq A_0$. شرط 2 هم به وضوح برقرار چون $\forall x,y\in A_0:x\le_0 y\Rightarrow x\le_0 y$. شرط سوم هم بنا به انتفاء مقدم برقرار چون $x\in A_0-A_0=\emptyset$ نادرسته.

حالا ثابت می کنیم رابطه پادتقارنی: فرض کنیم $(A_0,\le_0),(A_1,\le_1)\in A^*$ و

$$(A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1) ,\hspace{0.2cm}(A_1,\le_1)\le^* (A_0,\le_0)$$ باید ثابت کنیم $(A_0,\le_0)= (A_1,\le_1)$. فرض کنیم $(x,y)\in (A_0,\le_0)$ آن گاه $x\le_0y$ پس طبق شرط 2 نتیجه میشه که $x\le_1 y$ یعنی $(x,y)\in (A_1,\le_1)$. فرض کنیم $(x,y)\in (A_1,\le_1)$ آن گاه $x\le_1y$ پس طبق شرط 2 نتیجه میشه که $x\le_0 y$ یعنی $(x,y)\in (A_0,\le_0)$. پس $(A_0,\le_0)= (A_1,\le_1)$.

اثبات تعدی:فرض کنیم $(A_0,\le_0),(A_1,\le_1),(A_2,\le_2)\in A^*$ و

$$(A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1) ,\hspace{0.2cm}(A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2)$$ باید ثابت کنیم $(A_0,\le_0)\le^* (A_2,\le_2)$. چون $A_0\subseteq A_1$ و $A_1\subseteq A_2$پس $A_0\subseteq A_2$ و شرط 1 برقرار. فرض کنیم $x,y\in A_0$ و $x\le_0 y$ برای برقرای شرط 2 باید ثابت کنیم $x\le_2 y$. از $(A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1)$ نتیجه میشه که $x\le_1 y$ و از $(A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2)$ نتیجه میشه که $x\le_2 y$ پس شرط 2 برقرار.

فرض کنیم $x\in A_2-A_0$ برای برقراری شرط 3 باید ثابت کنیم که به ازای هر $y\in A_0$ داریم $y\le_2 x$. چون $A_0\subseteq A_1 \subseteq A_2$ یا $x\in A_1-A_0$ و یا $x\in A_2-A_1$. اگر $x\in A_1-A_0$ آن گاه به ازای هر $y\in A_0$ طبق $(A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1)$ داریم $y\le_1 x$ و طبق $(A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2)$ و شرط 2 داریم $y\le_2 x$. اگر $x\in A_2-A_1$ آن گاه به ازای هر $y\in A_0$ داریم $y\in A_1$ و طبق $(A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2)$ و شرط 3 داریم $y\le_2 x$. پس شرط 3 هم برقرار و رابطه تعدی. پس رابطه ترتیب جزئی.