فرض کنید $(A_0,\le_0)\in A^*$ برای انعکاسی بودن باید ثابت کنیم که $ (A_0,\le_0)\le^* (A_0,\le_0) $. کافیه 3 تا شرط برقرار باشه تا این رابطه نتیجه بشه. شرط 1 برقرار چون $A_0\subseteq A_0$. شرط 2 هم به وضوح برقرار چون $\forall x,y\in A_0:x\le_0 y\Rightarrow x\le_0 y$. شرط سوم هم بنا به انتفاء مقدم برقرار چون $x\in A_0-A_0=\emptyset$ نادرسته.
حالا ثابت می کنیم رابطه پادتقارنی: فرض کنیم $(A_0,\le_0),(A_1,\le_1)\in A^*$ و
$$ (A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1) ,\hspace{0.2cm}(A_1,\le_1)\le^* (A_0,\le_0)$$
باید ثابت کنیم $(A_0,\le_0)= (A_1,\le_1)$. فرض کنیم $(x,y)\in (A_0,\le_0)$ آن گاه $x\le_0y$ پس طبق شرط 2 نتیجه میشه که $x\le_1 y$ یعنی $(x,y)\in (A_1,\le_1)$. فرض کنیم $(x,y)\in (A_1,\le_1)$ آن گاه $x\le_1y$ پس طبق شرط 2 نتیجه میشه که $x\le_0 y$ یعنی $(x,y)\in (A_0,\le_0)$. پس $(A_0,\le_0)= (A_1,\le_1)$.
اثبات تعدی:فرض کنیم $(A_0,\le_0),(A_1,\le_1),(A_2,\le_2)\in A^*$ و
$$ (A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1) ,\hspace{0.2cm}(A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2)$$
باید ثابت کنیم $ (A_0,\le_0)\le^* (A_2,\le_2) $. چون $A_0\subseteq A_1$ و $A_1\subseteq A_2$پس $A_0\subseteq A_2$ و شرط 1 برقرار. فرض کنیم $x,y\in A_0$ و $x\le_0 y$ برای برقرای شرط 2 باید ثابت کنیم $x\le_2 y$. از $ (A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1) $ نتیجه میشه که $x\le_1 y$ و از $ (A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2) $ نتیجه میشه که $x\le_2 y$ پس شرط 2 برقرار.
فرض کنیم $x\in A_2-A_0$ برای برقراری شرط 3 باید ثابت کنیم که به ازای هر $y\in A_0$ داریم $y\le_2 x$. چون $A_0\subseteq A_1 \subseteq A_2$ یا $x\in A_1-A_0$ و یا $x\in A_2-A_1$. اگر $x\in A_1-A_0$ آن گاه به ازای هر $y\in A_0$ طبق $ (A_0,\le_0)\le^* (A_1,\le_1) $ داریم $y\le_1 x$ و طبق $ (A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2) $ و شرط 2 داریم $y\le_2 x$. اگر $x\in A_2-A_1$ آن گاه به ازای هر $y\in A_0$ داریم $y\in A_1$ و طبق $ (A_1,\le_1)\le^* (A_2,\le_2) $ و شرط 3 داریم $y\le_2 x$. پس شرط 3 هم برقرار و رابطه تعدی. پس رابطه ترتیب جزئی.
