اثبات تذکر آمده در زیر قضیهٔ ۱۶.۳ کتاب نظریهٔ حلقه های جابجایی نوشتهٔ ماتسومورا

Question

با سلام. بعد از بیان صورت قضیه 16.3 ، یک $Remark$ آورده و دو شرط رو توش مطرح کرده و گفته که با در نظر گرفتن این شرایط هم قضیه برقراره. سوال من اینه که چطور با برقرار بودن شرط $\beta$ بازهم قضیه برقراره؟

قضیه 16.3: فرض $A$ یک حلقه نوتری، $M\neq 0$ یک $A$-مدول ، $a_1,...,a_n\in A$ و قر ار دهید $I=(a_1,...,a_n)A$. تحت شرط :

(*)هر یک از $M,M/a_1M,...,M/(a_1,...,a_{n-1})M$، $I-adically \ separated$ باشند، اگر $a_1,...,a_n$ ، $M-quasi-regular$ باشد آنگاه یک $M-sequence$ هستند.

تذکر: فرض $(*)$ در هر کدام از حالت های زیر برقرار است:

$(\alpha)$ $M$ متناهی مولد و $I\subset \rm{rad}(A)$

$(\beta)$ $A$ یک حلقه $\mathbb N$-مدرج ، $M$ یک مدول $\mathbb N$ -مدرج و هر $a_i$ همگن از درجه مثبت است.

با تشکر از تذکر آقای erfan.

Comments

لطفا سوال رو کامل بنویسید.
ابتدا قضیه رو بنویسید  سپس قسمت $ \beta$را بنویسید.

برای نوشتن فرمول یا علامت ریاضی ابتدا روی دکمه ریاضی کلیک کنید یا بین دو $ بنویسید

---

لطفا راهنمای پرسش رو قبل از پرسیدن سوال مطالعه کنید. در قسمت راهنما داریم:
"امکان مطرح کردن چه پرسش هایی وجود دارد؟
... لطفا مساله خود را کامل توضیح دهید و از نوشتن عباراتی نظیر " با توجه به نمودار صفحه 16 از کتاب..." یا "بنابر قضیه 1.1 از کتاب..." پرهیز کنید و تمام مفروضات مورد نیاز را بنویسید."

---

با توجه به تذکر کاربر گرامی erfan اون چیزی که نیاز بود رو در پیوست آوردم.

---

"2. از مطرح کردن چه نوع پرسش هایی باید اجتناب کرد؟

لطفا سوال خود را با زبان فارسی رسمی بنویسید. پرسش هایی که با زبان های دیگر نوشته شده باشند یا از حروف غیر از حروف فارسی نوشته شده باشند توسط کاربران نشانه گذاری شده و به اطلاع مدیران سایت خواهد رسید و سوال شما بسته، پنهان و یا حتی حذف خواهد شد."

---

ممنون از تذکر و اصلاحیه شما.

Answer 1

باید نشان دهیم هر یک از $M,M/a_1M,...,M/(a_1,...,a_{n-1})M$، $I-adically \ separated$ هستند.

$ M $ را $I-adically \ separated$ می نامیم هرگاه $ \bigcap_{i=1}^ \infty I^{i} M=\{0\} $

حال نشان میدهیم اگر $A$ یک حلقه $\mathbb N$-مدرج ، $M$ یک مدول $\mathbb N$ -مدرج و هر $a_i$ همگن از درجه مثبت باشند آنگاه داریم:$ \bigcap_{i=1}^ \infty I^{i} M=\{0\} $

چون حلقه $A$ مدرج و ایده آل $ I $ توسط عناصر همگن تولید می شود لذا خود $ I $ ایده آلی همگن است. حال از برهان خلف حکم را ثابت میکنیم فرض کنید $0 \neq x \in \bigcap_{i=1}^ \infty I^{i} M $ برای $ i=1$ داریم $x \in IM $ لذا عناصر مخالف صفر $e \in I $و $m \in M $ وجود دارند که $ x=em $ .

از اینکه $ M $ مدرج است داریم عناصر $ m_{ i_{1} } \in M_{ i_{1}} $ وجود دارند که $m= \sum_{k=1}^t m_{ i_{k} } $ فرض $s $ بزرگترین درجه در بین جملات باشد یعنی $ \ \ \ $ (جملات با درجه کمتر) $m= m_{s}+ $ و بطور مشابه چون $ I$ همگن است داریم $ \ \ \ $(جملات \ با درجه \ کمتر)$e= e_{l}+ $ پس $ \ \ \ $ (جملات با درجه کمتر) $x=em= e_{l} m_{s}+ $ یعنی درجه ی $ x$ حداکثر $ sl $ است.

حال برای $i=s+l+1 $ باید $x \in I^{s+l+1} M $ باشد اما چون $ I $ مثبت مدرج است اگر کمترین درجه عناصر$ a_{i} $ برابر $ a $باشد آنگاه کمترین درجه $ I^{s+l+1} $ برابر $ a^{l+s+1} $است و از طرف دیگر $M$ یک مدول $\mathbb N$ -مدرج است لذا درجه تمام عناصر بزرگتر مساوی صفر است پس هر عضو $ I^{s+l+1} M $ دارای درجه حداقلی $ a^{l+s+1} $ است که از $ s+l $ بزرگتر است و لذا $x \notin I^{s+l+1} M $ و این تناقض است.

Comments

با تشکر از پاسخ شما.
فکر می کنم به جای $sl$ باید $s+l$ قرار بدید. البته شیوه استدلال کاملا درسته.

---

حق با شماست