Question

فرض کنید $(R,m)$ یک حلقه ی موضعی و نوتری باشد که $dim R = 1$ است ثابت کنید که گزاره های زیر معادل هستند:

$i$ حلقه ی $R$ منظم است.

$ii$ هر ایده آل سره ی $R$ برابر توانی از ایده آلماکسیمال $R$ است.

$iii$ عنصر $a \in R$ موجود است که هر ایده آل ناصفر $R$ بصورت $< a >^{h}$ است که در آن $h \geq 0$ است.

$iv$ حلقه ی $R$ یک حلقه ی $PID$ است.

Answer 1

اثبات $i \Rightarrow ii$:

طبق تعریف $m$ یک ایده آل اصلی است و توسط یک عنصر تولید می شود.حال فرض کنید $0 \subset I \subset R$ یک ایده آل دلخواه باشد از آنجایی که تنها ایده آل های اول $R$ برابر $0$ و $m$ هستند($dimR=1$) پس $I$ یک ایده آل $m$ اولیه است .پس $t \in N$ موجود است که $m^{t} \subseteq I$ است

حال حلقه ی $\frac{R}{m^{t} }$ را در نظر میگیریم این حلقه نوتری است و هر ایده آل اول آن ماکسیمال نیز است پس این حلقه آرتینی است. و ایده آل ماکسیمال آن هم با توجه به اینکه $m$ یک ایده آل اصلی است، یک ایده آل اصلی (ایده آل ماکسیمال آن برابر$\frac{m}{m^{t} }$ است) است. اما طبق قضیه زیر $\frac{I}{m^{t} }$ توانی از $\frac{m}{m^{t} }$ است پس $I$ توانی از $m$ است.

فرض کنید که $(R,m)$ حلقه ای آرتینی و موضعی باشد به طوریکه ایده آل ماکسیمال آن یک ایده آل اصلی باشد آنگاه هر ایده آل از آن یک توان از ایده آل $m$ است.

اثبات $ii \Rightarrow iii$:

از آنجایی که $dim_{K} \frac{m}{m^{2} } \geq 1$ است پس $m^{2} \subset m$ یعنی $a \in m \setminus m^{2}$ موجود است حال از اینکه $Ra$ یک ایده آل از $R$ است نتیجه می شود که توانی از $m$ است فرض کنید $Ra=m^{n}$ اما از آنجایی که $a \notin m^{2}$ پس باید $n=1$ باشد پس $m=Ra$ اما از آنجایی که هر ایده آل از $R$ به صورت توانی از $m$ است و $m=Ra$ پس هر ایده آل به صو رت $R a^{h}$ است.

اثبات $iii \Rightarrow iv$:

از آنجایی که هر ایده آل به صو رت $R a^{h}$ است. پس هر ایده آل یک ایده آل اصلی است یعنی حلقه ی $R$ یک $PID$ است.

اثبات $iv \Rightarrow i$:

میدانیم $dim _{K} \frac{m}{ m^{2} }$ برابر است با تعداد مولد مینیمال $m$ که با توجه به اینکه حلقه $PID$ است لذا $m= < a >$ یعنی $dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =1$ است. اما طبق فرض $dim R=1$ پس $dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =dim R$ یعنی حلقه منظم موضعی است.