اولا دقت فرمایید کهدر قلمرو(حوزه) صحیح $(0)$ یک ایده آل اول است لذا برای هر ایده آل اول مخالف صفر مانند
$P $داریم $ ht(P) \geq 1 $
فرض کنید $ R $ یک $ UFD $ باشد نشان میدهیم که هر ایده آل اول با هایت کمتر مساوی $1$ یک ایده آل اصلی است. اولا طبق نکته بالا اگر $ ht(P)=0$ آنگاه $P=(0) $ پس در این حالت حکم برقرار است پس فرض کنید که $ht(P)=1 $ یعنی $P \neq (0) $ پس $x \in P $ناصفررا در نظر میگیریم پس می توان آن را به طور منحصربفردی به صورت حاصلضربی از عناصر تجزیه ناپذیر، تجزیه کرد فرض کنید $x= x_{1} x_{2} ... x_{n} $ از آنجایی که $ x=x_{1} x_{2} ... x_{n} \in P $ و $P $ اول است لذا یک $ 1 \leq i \leq n $ وجود دارد که $x_{i} \in P $ است اما $ (x_{i}) $ یک ایده ال اول است و از آنجایی که مخالف صفر است لذا $ ht((x_{i}))=1$ و $(x_{i}) \subseteq P $ پس $P=(x_{i}) $ و حکم ثابت شد.
حال برعکس:
از قضیه زیر استفاده می کنیم:
$R$ یک حلقه $ UFD $ است اگروتنها اگر ایده آل تولید شده هر عنصر تجزیه ناپذیر ، یک ایده آل اول باشد.
پس برای اثبات فرض میکنیم که $ x$ یک عنصر تجزیه ناپذیر باشد و نشان میدهیم که $(x) $ یک ایده آل اول است. ایده آل اول مینیمال $P $ را در نظر میگیریم پس طبق قضیه زیر و نکته بالا داریم $ ht(P)=1 $
قضیه:فرض کنید $ R $ حلقه نوتری و $ x \in R $ باشد آنگاه اگر $P $ ایده آل اول مینیمال $(x) $ باشد آنگاه $ ht(P)=0 $ یا $ ht(P)=1 $
پس طبق فرض سوال $P $ یک ایده آل اصلی است فرض کنید که $ P=(y) $ پس $ (x) \subseteq (y) $ و از اینکه $x \in (y) $ داریم وجود دارد $z \in R $ که $x=zy $ است اما $ x $ تجزیه ناپذیر است پس باید $z $ عنصری یکه باشد پس $P=(x) $ و حکم ثابت شد
