فرض کنید که$(R,m)$یک حلقه منظم موضعی باشد که$y,x \notin m^{2}$ آنگاه$\frac{R}{(x,y)R}$منظم و موضعی است

Question

فرض کنید که$(R,m)$ یک حلقه منظم موضعی باشد که$x,y \in m$ باشد اگر $x \notin m^{2}$ و$y \notin m^{2}$ آنگاه $\frac{R}{(x,y)R}$ یک حلقه منظم و موضعی است.

Answer 1

برای اثبات کافیست از قضیه زیر استفاده کنیم:

فرض کنید $(R,m)$ یک حلقه منظم موضعی باشد که $x \notin m \setminus m^{2}$ آنگاه $\frac{R}{(x)}$ نیز یک حلقه منظم موضعی است و $dim \frac{R}{(x)} =dim R -1$

اولا طبق فرض $x \notin m \setminus m^{2}$ پس $dim \frac{R}{(x)} =dim R -1$ و $\overline{R}= \frac{R}{(x)}$ منظم موضعی با ایده آل ماکسیمال $\overline{m} =\frac{m}{(x)}$ است اگر نشان دهیم که $y+(x)= \overline{y} \notin \overline{m} \setminus \overline{m} ^{2}$ آنگاه طبق همین قضیه $\frac{\overline{R}}{(\overline{y})} = \frac{\frac{R}{(x)}}{\frac{(y)+(x)}{(x)}} = \frac{\frac{R}{(x)}}{ \frac{(x,y)}{(x)} } \cong \frac{R}{(x,y)}$ نیز منظم موضعی است و حکم ثابت می شود.

اگر $\overline{y} \in \overline{m} ^{2} = \frac{m ^{2}+(x)}{(x)}$ آنگاه $y+(x) \in m ^{2} +(x)$ و این تناقض است.