از آنجایی که $ f $ همگن از درجه ی $d$ است. پس به صورت مجموعی از عناصر به صورت $ x^{k} y^{d-k} $ است.
برای اینکه راخت تر بتوانیم آن راببینیم فرض کنید $f= x^{d} $
قرار می دهیم $A= \frac{R}{(f)} $ پس:
$A_{0} =K \Rightarrow l(A_{0} )=1$
در واقع برای $i < d$ داریم $ l(A_{i} )={i+1\choose{i}} =i+1 $
و برای$i = d $ عنصر $x^{d}$ جذب (f) می شود لذا $ l(A_{d} )=d $. برای $i = d+1 $ دو عنصر $x^{d}$ و$yx^{d}$ جذب می شوند لذا $ l(A_{d+1} )=d$ و با کمی دقت برای $i \geq d$ داریم $ l(A_{i} )=d$ پس:
$$p(A,t)=1+2t+3 x^{2} +...+d t^{d-1} +d t^{d}+...= \frac{d}{1-t} -((d-1)+(d-2)t+...+t^{d-2}) $$
حال حالت کلی:
از آنجایی که تابع هیلبرت $ \frac{S}{I} $ و $ \frac{S}{in _{ < } (I)} $ برابر هستند. از آنجایی که انیش برابر یک عنصر است مثل همان $f= x^{d} $ پس با استدلالی مشابه همان تابع بدست می آید.
برای بدست آوردن $multiplicity$ کافیست مخرج مشترک بگیریم و در صورت $t=1 $ قرار بدهیم پس:
$$p(A,t)=1+2t+3 x^{2} +...+d t^{d-1} +d t^{d}+...= \frac{d}{1-t} -((d-1)+(d-2)t+...+t^{d-2})= \frac{d-(1-t)((d-1)+(d-2)t+...+t^{d-2})}{1-t} $$
که به ازای $ t=1 $ برابر است با $d$
