اثبات $ i \Rightarrow ii$:
طبق تعریف $ m $ یک ایده آل اصلی است و توسط یک عنصر تولید می شود.حال فرض کنید $ 0 \subset I \subset R $ یک ایده آل دلخواه باشد از آنجایی که تنها ایده آل های اول $ R $ برابر $ 0 $ و $ m $ هستند($dimR=1 $) پس $I $ یک ایده آل $m $ اولیه است .پس $t \in N $ موجود است که $ m^{t} \subseteq I $ است
حال حلقه ی $ \frac{R}{m^{t} } $ را در نظر میگیریم این حلقه نوتری است و هر ایده آل اول آن ماکسیمال نیز است پس این حلقه آرتینی است. و ایده آل ماکسیمال آن هم با توجه به اینکه $ m $ یک ایده آل اصلی است، یک ایده آل اصلی
(ایده آل ماکسیمال آن برابر$ \frac{m}{m^{t} } $ است) است. اما طبق قضیه زیر $ \frac{I}{m^{t} } $ توانی از $ \frac{m}{m^{t} } $ است پس $ I$ توانی از $ m $ است.
فرض کنید که $(R,m)$ حلقه ای آرتینی و موضعی باشد به طوریکه ایده آل ماکسیمال آن یک ایده آل اصلی باشد آنگاه هر ایده آل از آن یک توان از ایده آل $m$ است.
اثبات $ ii \Rightarrow iii$:
از آنجایی که $dim_{K} \frac{m}{m^{2} } \geq 1$ است پس $ m^{2} \subset m $ یعنی
$a \in m \setminus m^{2} $ موجود است حال از اینکه $ Ra $ یک ایده آل از $ R $ است نتیجه می شود که توانی از $ m $ است فرض کنید $Ra=m^{n} $ اما از آنجایی که $a \notin m^{2} $ پس باید $ n=1 $ باشد پس $m=Ra $ اما از آنجایی که هر ایده آل از $ R$ به صورت توانی از $m $ است و $m=Ra $ پس هر ایده آل به صو رت $ R a^{h} $ است.
اثبات $ iii \Rightarrow iv$:
از آنجایی که هر ایده آل به صو رت $ R a^{h} $ است. پس هر ایده آل یک ایده آل اصلی است یعنی حلقه ی $R$ یک $ PID $ است.
اثبات $ iv \Rightarrow i$:
میدانیم $dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } $ برابر است با تعداد مولد مینیمال $ m $ که با توجه به اینکه حلقه $PID $ است لذا $ m= < a > $ یعنی $ dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =1 $ است. اما طبق فرض $ dim R=1 $ پس $ dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =dim R $ یعنی حلقه منظم موضعی است.
