جبر جابجایی(حلقه ی منظم موضعی)

Question

فرض کنید$(R,m)$ یک حلقه ی منظم موضعی و $I$ یک ایده آل $R$ باشد که $ \frac{R}{I} $ یک حلقه ی منظم موضعی باشد.نشان دهید $I$ به وسیله یک دستگاه پارامتری منظم تولید می شود.

Answer 1

از آنجایی که $ \frac{R}{I} $ منظم است طبق تعریف داریم: $ G( \frac{R}{I} )=dim \frac{R}{I} $ همچنین از آنجایی که هر حلقه منظم یک قلمرو صحیح است پس $ I $ ایده آلی اول است.

قرار می دهیم $d=dim R-dim\frac{R}{I} $. طبق لم ناکایاما $ I $ دارای عناصری مانند $x_1, \ldots, x_d $ است که این عناصر زیر مجموعه ی مجموعه مولد مینیمال $m $ هستند.

hاز آنجایی که $\frac{R}{(x_1, \ldots, x_d)} $ منظم و از بعد $dim \frac{R}{I} $ است و همچنین هم $ I $ و هم $ (x_1, \ldots, x_d) $ اول هستند پس $I=(x_1, \ldots, x_d)$