$ \lim_{x \rightarrow 1^+} [ \frac{2x+7}{x+1} ]$

Question

حاصل حد زیر را بیابید ممنون

$$ \lim_{x \rightarrow 1^+} [ \frac{2x+7}{x+1} ]$$

Comments

چرا فکر می‌کنید این پرسش سخت است؟ حاصل می‌شود ۴. حالا اگر حاصل داخل جزء صحیح عدد صحیح می‌شد می‌گفتیم به شک افتاده‌اید ولی یک در منطقهٔ از دامنه این تابع هست که تابع بر همسایگی‌ای از آن پیوسته است و برای مقدار حد چپ و راست ابهامی بوجود نمی‌آید.

---

@AmirHosein
ممنون استاد . من میخوام بدونم چرا وقتی ی تابعی به ما میدهند .اولین کار که میکنیم جایگذاری اون عددی که میل میکند هست .در صورتی که فقط برای توابع چند جملهایی میتوان جایگذاری کرد .

---

@amirm20 تابع‌هایی که ما خودمان می‌سازیم اغلب پیوسته هستند (توجه کنید که اگر یک عدد حقیقی را به تصادف انتخاب کنید با احتمال یک عددی گنگ می‌شود ولی اعدادی که ما با می‌سازیم به احتمال یک گویا هستند!) بنابراین از دیدی احتمال اینکه حد یک تابعی که در اصراف می‌بینیم برابر با مقدار تابع شود یک است ولی در اینجا، حد بالا را چگونه می‌خوانید؟ به صورت ساده می‌شود گفت اگر یک ذره (اپسیلون) بیشتر از یک به تابعم بدهم چه مقداری می‌شود؟ می‌توانید با امتحان کردن جلو بروید که پیشنهاد خردمندانه‌ای نیست. از تجربه می‌دانیم که تابع جزء صحیح یک تابع همواره پیوسته از سمت راست است و در تمامی نقاطی که مقدار ضابطهٔ داخلش صحیح نشود پیوسته از دو طرف است پس تنها اگر حد از سمت چپ داشتیم باید نگران باشم و آن هم تنها در صورتی که مقدار داخل جزء صحیح عددی صحیح شود. پس اینجا که حد راست داریم که دیگر اصلا نگرانی‌ای وجود ندارد. امیدوارم کمکی شده‌باشد.

Answer 1

ابتدا تعریف میکنیم :

$$f(x):=\dfrac{2x+7}{x+1}$$

از تابع مشتق میگیریم . خواهیم داشت :

$$f'(x):=\dfrac{-5}{(x+1)^2}<0$$

در نتیجه تابع همواره نزولی است و پیوسته است . خواهیم داشت :

$$f(1+\epsilon)<f(x)<f(1)=\dfrac92\ \ \ \ \ \ \forall \ :1<x<1+\epsilon$$

$$1<x<1+\epsilon \ \ \ : \ \ \ g(x):=\lfloor \dfrac{2x+7}{x+1}\rfloor=4$$

در نتیجه : $$\lim_{x \to 1^+}g(x)=\lim_{x \to 1^+}4=4$$