ابتدا تعریف میکنیم :
$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z} $$
$$f(x):=\lfloor x \rfloor=x+p_x \ \ \ \ :0 \leq p_x<1 $$
و میدانیم که تابع جزءصحیح در نقاط $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ پیوسته است و در نقاط $\mathbb{Z}$ ناپیوسته است و داریم :
$$\lim_{x \to n^+}\lfloor x \rfloor=n \ \ \ : n \in\mathbb{Z} $$
$$\lim_{x \to n^-}\lfloor x \rfloor=n-1 \ \ \ : n \in\mathbb{Z} $$
حالا تابع دیگری تعریف میکنیم :
$$g(x):= \frac{3\sin(x^2) -1}{2\cos(x)+1}$$
مقدار تابع در $\pi$ را حساب میکنیم :
$$g(\pi):= \frac{3\sin(\pi^2) -1}{2\cos(\pi)+1}=1-3\sin(\pi^2) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$$
حال از قضیه زیر استفاده میکنیم :
اگر $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=b$ و تابع $f$ در نقطه$g(a)$ پيوسته باشد آنگاه:
$$ \lim_{x\rightarrow a} f(g(x))=f(b)$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$ \lim_{x \rightarrow \pi} \lfloor \frac{3\sin(x^2) -1}{2\cos(x)+1} \rfloor=\lim_{x\to\pi}f(g(x))=f(\pi)=2$$
