حد زیر را چگونه رفع ابهام کنم؟ $ \lim_{x \rightarrow 0^{+} }(\cos x)^{ \frac{1}{x^{2}}} $

Question

حد زیر به صورت مبهم در می‌آید. چگونه آن را رفع ابهام کنم؟

$$ \lim_{x \rightarrow 0^{+} }(\cos x)^{ \tfrac{1}{x^{2}}} =? $$

Answer 1

$$\displaystyle \lim_{x\to 0} \cos(x)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x^2}\ln \cos x}$$ $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln \cos x = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln \sqrt{1-\sin^2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0} \frac{\sin ^{2}x}{x^{2}}\frac{\ln (1-\sin ^{2}x)}{\sin ^{2}x}=$$ $$\displaystyle \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\lim_{y\to 0}\frac{\ln (1-y)}{y}=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot (-1) = -\frac{1}{2}$$ $$\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to 0} \cos(x)^\frac{1}{x^2}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$$

در مسیر حل از این قضیه ها استفاده شده :

$$\cos x =\sqrt{1-\sin^2 x}\\ \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \\ \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+(-x))}{-x}=-1$$

Answer 2

$ \lim_{x \rightarrow 0^{+} }(cos x)^{ \frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0^{+} }( \sqrt[]{1- sin^{2}x } )^{ \frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0^{+} }(1- sin^{2}x)^{ \frac{1}{2x^{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0^{+} }((1- sin^{2}x)^{ \frac{1}{- sin^{2}x} }) ^{\frac{- sin^{2}x}{2x^{2}}} = e^{ \frac{-1}{2} }= \frac{1}{ \sqrt[]{e} } $