چگونه حد روبرو را حساب کنم؟ $\lim_{x\to\infty}\big(x-\rm{cosh}(x)\big)^ \frac{1}{x}$

Question

حاصل حد زیر را به‌دست آورید (منظور از $\rm{cosh}(x)$ همان $\rm{ch}(x)$ یا کسینوس هایپربولیک $x$ می‌باشد).

$$\lim_{x\to\infty}\big(x-\rm{cosh}(x)\big)^ \frac{1}{x}$$

Comments

این سوالتون هم اشتباه است. توی پرانتز منفی میشود و توان مثبت است

---

به سمت مثبت بینهایت میل میکنه

---

@masiha1412
توی پرانتز منفی میشود وقتی که $x\to +\infty $ و عدد منفی بتوان عدد مثبت اعشاری را در اعداد حقیقی تعریف نمی کنیم.

Answer 1

برای حل حدودی شامل متغیر مستقل در توان، معمولا استراتژی این است که حد را مساوی متغیر وابسته‌ای می‌کنند، از طرفین لگاریتم می‌گیرند. پس داریم که $$y=(x-ch(x))^{\frac{1}{x}}$$ $$\Rightarrow\, \ln(y)=\ln\Big((x-ch(x))^{\frac{1}{x}}\Big)=\frac{1}{x}\ln(x-ch(x)),$$ حال از طرفین حد می‌گیریم، و در نتیجه مسئله، تبدیل می‌شود به حل حد زیر، $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln(x-ch(x))}{x},$$ اما می‌بینیم که تابع درون لگاریتم مطلقا منفی است؛ در حالی که دامنه لگاریتم بزرگتر از صفر می‌باشد. پس صورت سوال احتمالا این‌طور است که جای $x$ و $ch(x)$ باید عوض شود. اگر این طور باشد با ادامه همین حل بالا و دوباره هوپیتال گرفتن، و در آخر با $exp$ گرفتن، به جواب می‌رسیم.