به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
392 بازدید
در دبیرستان توسط mahdi1379 (275 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

ثابت کنید مقدار این کسر به k بستگی ندارد. $$ \frac{1-\cos x+k\sin x}{\sin x+k(1+\cos x)} $$

مرجع: کتاب ریاضی دهم مبتکران-حسین انصاری-2-64

3 پاسخ

+1 امتیاز
توسط A Math L (2,380 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

$1-cosx=2sin^2 \frac{x}{2} $ , $1+cosx=2cos^2 \frac{x}{2} $

$$ \frac{1−cosx+ksinx}{sinx+k(1+cosx)}= \frac{2sin^2 \frac{x}{2}+2ksin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{2kcos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}} = \frac{2sin\frac{x}{2}(sin\frac{x}{2}+kcos\frac{x}{2})}{2cos\frac{x}{2}(sin\frac{x}{2}+kcos\frac{x}{2})} = \frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}} $$
توسط mahdi1379 (275 امتیاز)
خیلی ممنون.ولی این سوال توی کتاب کار ریاضی دهم هست.اما فکر کنم این رابطه مال سال سوم دبیرستانه.لطفا اگه میشه اینو با یه راهه دیگه حل کنید.
+1 امتیاز
توسط saderi7 (7,842 امتیاز)
$$f(x):=\dfrac{1-\cos x +k\sin x}{\sin x+k(1+\cos x)}$$

صورت و مخرج را در $\sin x$ ضرب میکنیم خواهیم داشت :

$$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{\sin^2 x+k\sin x(1+\cos x)}$$

حال از رابطه زیر استفاده میکنیم :

$$\sin ^2x =1-\cos^2x$$

خواهیم داشت :

$$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{ 1 -\cos^2x+k\sin x(1+\cos x)}$$ $$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)+k\sin x(1+\cos x)}$$ $$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{(1+\cos x)(1-\cos x+k\sin x)}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$$
0 امتیاز
توسط

با سلام . ایتدا مفدار k=0 را در کسر میگذاریم و میبینیم $ f(0)= \frac{1-cos x}{sin x} $پس باید ثابت کنیم به ازای تمام مقادیر kحاصل این عبارت$ \frac{1-cos x}{sin x} $میشود ،که به صورت یک معادله در می آید: معادله ی روبرو را وقتی طرفین وطین کنیم ،دوطرف باهم برابر خواهند شد.

$ \frac{1-cos x+k.sin x}{sinx+k+k.cos x} $=$ \frac{1-cos x}{sin x} $</


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...