Question

ثابت کنید مقدار این کسر به k بستگی ندارد. $$ \frac{1-\cos x+k\sin x}{\sin x+k(1+\cos x)} $$

Answer 1

$1-cosx=2sin^2 \frac{x}{2} $ , $1+cosx=2cos^2 \frac{x}{2} $

$$ \frac{1−cosx+ksinx}{sinx+k(1+cosx)}= \frac{2sin^2 \frac{x}{2}+2ksin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{2kcos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}} = \frac{2sin\frac{x}{2}(sin\frac{x}{2}+kcos\frac{x}{2})}{2cos\frac{x}{2}(sin\frac{x}{2}+kcos\frac{x}{2})} = \frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}} $$

Comments

خیلی ممنون.ولی این سوال توی کتاب کار ریاضی دهم هست.اما فکر کنم این رابطه مال سال سوم دبیرستانه.لطفا اگه میشه اینو با یه راهه دیگه حل کنید.

Answer 2

$$f(x):=\dfrac{1-\cos x +k\sin x}{\sin x+k(1+\cos x)}$$

صورت و مخرج را در $\sin x$ ضرب میکنیم خواهیم داشت :

$$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{\sin^2 x+k\sin x(1+\cos x)}$$

حال از رابطه زیر استفاده میکنیم :

$$\sin ^2x =1-\cos^2x$$

خواهیم داشت :

$$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{ 1 -\cos^2x+k\sin x(1+\cos x)}$$ $$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)+k\sin x(1+\cos x)}$$ $$f(x)=\dfrac{\sin x(1-\cos x +k\sin x)}{(1+\cos x)(1-\cos x+k\sin x)}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$$

Answer 3

با سلام . ایتدا مفدار k=0 را در کسر میگذاریم و میبینیم $ f(0)= \frac{1-cos x}{sin x} $پس باید ثابت کنیم به ازای تمام مقادیر kحاصل این عبارت$ \frac{1-cos x}{sin x} $میشود ،که به صورت یک معادله در می آید: معادله ی روبرو را وقتی طرفین وطین کنیم ،دوطرف باهم برابر خواهند شد.

$ \frac{1-cos x+k.sin x}{sinx+k+k.cos x} $=$ \frac{1-cos x}{sin x} $</