نامساوی مثلثاتی

Question

سلام. دوستان عزیز اگر کسی ایده ای برای حل این نامساوی داره لطفاً به اشتراک بزاره :

سوال : اگر a و b و c زوایای داخلی یک مثلث باشند ثابت کنید که :

$tan^2( \frac{a}{4} )+tan^2( \frac{b}{4} )+tan^2( \frac{c}{4} ) \leq 1$

Answer 1

شاید بدردتون بخوره :

برای سادگی کار : $ \frac{a}{4} =x , \frac{b}{4} =y, \frac{c}{4} =z$

$tan^2x+tan^2y+tan^2z= \frac{sin^2x}{cos^2x} + \frac{sin^2y}{cos^2y} + \frac{sin^2z}{cos^2z} = \frac{sin^2x.cos^2y.cos^2z+cos^2x.sin^2y.cos^2z+cos^2x.cos^2y.sin^2z}{cos^2x.cos^2y.cos^2z} $

,،

$sin^2 \alpha =1-cos^2 \alpha \Rightarrow \frac{-3(cos^2x.cos^2z.cos^2y)+(cos^2x.cos^2y+cos^2x.cos^2z+cos^2z.cos^2y)}{cos^2x.cos^2y.cos^2z} $

,،

حال کافی است ثابت میکنیم $ -3 + \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{cos^2y} + \frac{1}{cos^2z} \geq 1 $