چگونه میتوان حاصل $x + \frac{1}{x}$ را بدست آورد؟

Question

سلام؛ اگر $x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$ باشد حاصل $x + \frac{1}{x}$ را چگونه میتوان بدست آورد؟

Answer 1

$ \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{16} + \sqrt{18} = ( \sqrt{2}+1) ( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} ) \Rightarrow $

$$x = \sqrt{2} +1$$

$$x+ \frac{1}{x} = \frac{( \sqrt{2} +1)^2+1}{ \sqrt{2} +1} = 2 \sqrt{2} $$

Comments

ایده تجزیه عبارت چیه؟

---

ایده خاصی نداشتم فقط حدس زدم بشه به صورت $x( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4})$
تجزیه کرد بعدشم با حدث و آزمایش تجزیه رو پیدا کردم.

Answer 2

ابتدا تعریف میکنیم :

$$a:= \sqrt 2 \ \ \ \ \ \ b := \sqrt 3$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$B:=\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 = a+b + 2$$

و همچنین :

$$A:=(\sqrt 3 +\sqrt 6 + \sqrt 16 + \sqrt 18) = (b+ ab + 3a + 4) $$ $$A= (ab + 2a+2)+(a+b+2)$$

و اینکه میدانیم :

$$ a=\sqrt 2 \to a^2=2$$

جای گذاری میکنیم : $$A=(ba + 2a+a^2)+(a+b+2) = a(a+b+2) + (a+b+2) = (a+1)(a+b+2)$$

در نتیجه $x$ را بدست میآوریم :

$$x=\dfrac{A}{B}=a+1=\sqrt 2+1$$

و خواهیم داشت :

$$ \dfrac{1}{x}=\sqrt 2-1$$

حال خواسته سوال را بدست می آوریم :

$$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt2$$

Answer 3

روش دیگر : $$x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$$

دو طرف را منهای یک میکنیم :

$$x -1= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}-1$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$x -1= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt {16} + \sqrt {18} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}-\dfrac{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}$$ $$x-1=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt 2\sqrt 2+\sqrt 2\cdot2}{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4}=\sqrt 2$$

در پایان :

$$x=\sqrt 2+1 \to \dfrac{1}{x}=\sqrt2-1$$ $$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt 2$$