هر نقطه از $X$حداقل به $m$ تا از زیر مجموعه ها متعلق باشد آنگاه $ \mu ( E_{k}) \geq \frac{m}{n} $

Question

فرض کنید که $ \mu (X)=1 $و $ E_{1} , E_{2} ,..., E_{n} $ زیر مجموعه های اندازه پذیر $X $ باشند. و هر نقطه از $X $ متعلق به حداقل $m $ تا از این مجموعه ها باشد . نشان دهید که $ k $ ای وجود دارد به طوری که $ \mu ( E_{k}) \geq \frac{m}{n} $ .

البته فکرکنم در حل این مسئله از اصل لانه کبوتری باید استفاده کنیم .

Answer 1

طبق فرض چون هر نقطه از $X$به حداقل $m$تا از زیرمجموعه های گفته شده متعلق است، پس داریم$ X\subseteq \bigcup_1^n E_{i} $و چون خود زیرمجموعه های $X$هستند بنابراین$X = \bigcup_1^n E_{i} $از اینرو $$1 = \mu (X) = \mu ( \bigcup_1^n E_{i)} .$$حال اگر از فرض خلف استفاده کنیم یعنی فرض کنیم حکم گفته شده درست نیست یا معادلا به ازای هر$k$داریم$ \mu ( E_{k} ) < \frac{m}{n} $آنگاه طبق مفروضات گفته شده و خواص اندازه خواهیم داشت $$1 = \mu (X) = \mu ( \bigcup_1^n E_{i)} \leq \sum_1^n \mu (E_{i} ) - (m - 1) \mu (X) < n .\frac{m}{n} -( m - 1).1 = 1 $$که بعبارت$1 < 1$رسیدیم که تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

( باید توجه داشت که چون هر نقطه از $X$در حداقل $m$ تا از زیر مجموعه های $ E_{i} $تکرار شده است پس در محاسبه ی $ \mu ( \bigcup_1^n E_{i} )$حدود $m$ بار اندازه ی $X$ را حساب کرده ایم که اگر $ m-1$ بار تکرار اضافه ی آنرا برداریم رابطه ی گفته شده در بالا منطقی بنظر خواهد رسید )

Comments

واقعاٌ عالی بود