به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده خرداد ۲۶, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط saderi7 (7,245 امتیاز)
ویرایش شده ۲۶ مرداد ۱۳۹۹ توسط saderi7
972 بازدید

دنباله ی زیر را در نظر بگیرید :

$$\bbox[5px, border:1px solid #4682B4]{x_n=\big( 1+\dfrac{1}{n}\big)^n \ \ \ ; \ \ \ n \in \mathbb{N}} $$

ثابت میکنیم دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}} $ همگرا است.


اثبات یک


برای اثبات دنباله دیگری به صورت زیر تعریف میکنیم:

$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{y_n:=\big( 1+\dfrac{1}{n}\big)^{n+1} \ \ ; \ \ n \in \mathbb{N}}$$

دنباله را به صورت زیر بازنویسی میکنیم :

$$y_n=\big( \dfrac{n+1}{n}\big)^{n+1} \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ \ \ n \in \mathbb{N}$$

برای هر $ n\geq 2 \in \mathbb{N} $ داریم :

$$\begin{align}{\dfrac{y_{n-1}}{y_n}}\\&=\dfrac{\big( \dfrac{n}{n-1}\big)^{n}}{\big( \dfrac{n+1}{n}\big)^{n+1}}=\big( \dfrac{n}{n-1}\big)^{n} \cdot \big( \dfrac{n+1}{n}\big)^{n+1} \\&=\dfrac{n^{2n+1}}{(n-1)^n\cdot(n+1)^n\cdot(n+1)}\\& =\dfrac{n^{2n}}{(n^2-1)^n}\cdot \dfrac{n}{n+1}\\&= \big(\dfrac{n^2}{n^2-1}\big)^n\cdot \dfrac{n}{n+1}=\underbrace{ \big(1+\dfrac{1}{n^2-1}\big)^n}_{:=q_n}\cdot \dfrac{n}{n+1}\end{align}$$

باتوجه به نامساوی برنولی نتیجه میشود که :

$$q_n:=\big(1+\dfrac{1}{n^2-1}\big)^n\geq 1+\dfrac{1}{n^2-1}>1+\dfrac{n}{n^2}=1+\dfrac{1}{n}$$

از این رو :

$$\dfrac{y_{n-1}}{y_n}=q_n\cdot \dfrac{n}{n+1}>\dfrac{n+1}{n}\cdot\dfrac{n}{n+1}=1$$

ثابت کردیم که :

$$y_{n-1}>y_n \ \ \ \ \ \forall \ \ n\geq 2\in\mathbb{N} $$

بنابراین دنباله $\big( y_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ اکید نزولی است .

حال ثابت میکنیم که :

$$y_n=\big( \dfrac{n+1}{n}\big)^{n+1}>1 \ \ \ n \in \mathbb{N}$$

بدیهی است که :

$$ n+1>n \ \ \ \ n \in \mathbb{N} $$ $$\dfrac{n+1}{n}>\dfrac{n}{n}=1$$

دو طرف نامساوی را به توان $(n+1)$ میرسانیم :

$$y_n=\big( \dfrac{n+1}{n}\big)^{n+1}>1 \ \ \ n \in \mathbb{N}$$

حال با توجه به :

$$1< \big( \dfrac{n+1}{n}\big)^{n+1}< y_1=4 \ \ \ n \in \mathbb{N}$$

دنباله $ \big( y_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ کراندار است .

در نتیجه طبق قضیه $\checkmark$ وایرشتراس دنباله $\big( y_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .


$\checkmark$ قضیه وایرشتراس

هر دنباله یکنوا از اعداد حقیقی همگرا است , اگر و فقط اگر کراندار باشد .


مشاهده کنید که در واقع :

$$y_n=x_n\cdot\big(\dfrac{n+1}{n}\big)$$ $$x_n=y_n\cdot\big(\dfrac{n}{n+1}\big)$$

میدانیم که دنباله $ \big( y_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگراست و همچنین :

$$\lim_{n\to\infty}\big(\dfrac{n}{1+n}\big)=\lim_{n\to\infty}\big(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\big)=1$$

در نتیجه دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .$ \Box $


اثبات دو


با توجه به نامساوی $G_{n+1} < A_{n+1}$ داریم :

$$a_1:=1 \ , a_2=a_3=...=a_{n+1}:=1+\dfrac{1}{n}$$

$$\sqrt[\Large{n+1}]{1\cdot\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n}< \dfrac{1+n\big(1+\dfrac{1}{n}\big)}{n+1}< \dfrac{n+2}{n+1}=1+\dfrac{1}{1+n}$$

دو طرف نامساوی را به توان $(n+1)$ میرسانیم :

$$\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n < \big(1+\dfrac{1}{n+1}\big)^{n+1}$$

در واقع خواهیم داشت:

$$x_n < x_{n+1} \ \ ; \ \ \forall \ \ n\in \mathbb{N}$$

ثابت کردیم که دنباله $\big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ اکید صعودی است.

ثابت میکنیم دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ از بالا کراندار است.

برای اثبات با توجه به نامساوی $G_{n+1} < A_{n+1}$ داریم :

$$a_1:=1 \ , a_2=a_3=...=a_{n+1}:=1-\dfrac{1}{n}$$ $$\sqrt[\Large{n+1}]{1 \cdot\big(1-\dfrac{1}{n}\big)^n}< \dfrac{n\big(1-\dfrac{1}{n}\big)+1}{n+1}< \dfrac{n}{n+1}$$ $$\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} > \left(1-\frac1n\right)^n$$ $$\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1} < \left(\frac{n}{n-1}\right)^n$$ $$y_n:=\left(1 + \frac1n\right)^{n+1} < \left(1 + \frac1{n-1}\right)^n:=y_{n-1}$$

در واقع:

$$y_n < y_{n-1} \ \ ; \ \ \forall \ \ n\in \mathbb{N}$$ $$y_n > y_{n+1} \ \ ; \ \ \forall \ \ n\in \mathbb{N}$$

بنابراین خواهیم داشت :

$$2=x_1\leq x_n < y_n \le y_1 = \left(1 + \frac11\right)^2 = 4$$

در نتیجه ثابت شد دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ از بالا کراندار است .

بنابراین طبق قضیه وایرشتراس دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .$ \Box $


اثبات سه


با استفاده از بسط دو جمله‌ ای داریم :

$$ \begin{align} x_n:=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\\=&\sum_{i=0}^{n}\ \binom{n}{i} \dfrac{1}{i}\\=&1+\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i} \dfrac{1}{i}\\=& 1+\sum_{i=1}^{n}\dfrac{n(n-1)\cdot\cdot\cdot(n-i-1)}{i!}\cdot\dfrac{1}{n^i}\\=&1+\sum_{i=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)\dfrac{1}{i!}\\\leq& \ 1+\sum_{i=1}^{n+1}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1-\dfrac{i-1}{n+1}\right)\dfrac{1}{i!}\\=& \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\\=& \ x_{n+1} \end{align} $$

ثابت کردیم که دنباله $\big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ اکید صعودی است .

و همچنین برای $n\geq 2 \in \mathbb{N}$ داریم :

$$ \begin{align} x_n:=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\\=& 1+\sum_{i=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)\dfrac{1}{i!} \\\leq& \ 2\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i} \\\leq& \ 2+\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{2^{i-1}}\\ \leq& \ 3 \end{align} $$

ثابت شد دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ از بالا کراندار است .

بنابراین طبق قضیه وایرشتراس دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .$ \Box $


ثابت کردیم که دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .

یعنی حاصل حد دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ یک عدد یکتاست . عدد یکتا را تعریف میکنیم :

$$\bbox[10px, border:1px solid #4682B4]{\color{teal}{e}:=\lim_{n}\big( 1+\dfrac{1}{n}\big)^n}$$

عدد اویلر یا عدد نپر قسمت دوم


صادق صادری مهران

دارای دیدگاه آذر ۱۵, ۱۳۹۶ توسط erfanm (13,004 امتیاز)
عالی بود ممنون

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...