به نام خدا
تابع دبلیوی لامبرت، معکوس تابع $f(w)=we^w$ است. بهطوری که $w$ عددی مختلط است.
اما حالا برویم سراغ کاربرد این تابع. یکی از کاربردهای تابع دبلیوی لامبرت در حل معادلات نمایی است. مثلاً فرض کنید میخواهیم معادلۀ $x^x=a$ را برحسب $x$ حل کنیم. برای حل این معادله، ابتدا از طرفینِ معادله، لگاریتم طبیعی میگیریم:
$$x^x=a \Rightarrow x\ln x=\ln a$$
و سپس با تغییر متغیرِ $x=e^y$ در معادلهٔ $x\ln x=\ln a$ کار را ادامه میدهیم:
$$e^y\ln e^y=\ln a \Rightarrow ye^y=\ln a$$
سپس از طرفین معادلۀ $ye^y=\ln a$ تابع دبلیوی لامبرت میگیریم:
$$ye^y=\ln a \Rightarrow w(ye^y)=w(\ln a)\Rightarrow y=w(\ln a)$$
و در نهایت:
$$y=w(\ln a) \Rightarrow x=e^{w(\ln a)}$$
همانطور که دیدید با استفاده از تابع دبلیوی لامبرت توانستیم این معادله ($x^x=a$) را حل کنیم.
