به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده اردیبهشت ۱۶, ۱۴۰۰ در مطالب ریاضی توسط Math.Al (1,399 امتیاز)
ویرایش شده اردیبهشت ۲۳, ۱۴۰۰ توسط Math.Al
81 بازدید

به نام خدا

معادلهٔ درجهٔ چهار زیر را در نظر بگیرید:

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$

برای حل این معادله مراحل زیر را طی می‌کنیم (این روش به روش فِراری معروف است):

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$

ابتدا به‌جای $x$، $x- \frac{b}{4a} $ را قرار می‌دهیم؛ و بعد طرفین معادله را بر ضریب $x^4$ تقسیم می‌کنیم و سپس می‌توان معادله را به‌شکل زیر نوشت:

$$x^4+px^2+qx+r=0$$

که $p$، $q$ و $r$ برابر هستند با:

$$p= \frac{8c-3b^2}{8a} \cdot \frac{1}{a} $$

$$q= \frac{b^3-4bc+8d}{8a^2} \cdot \frac{1}{a} $$

$$r= \frac{-3b^4+256e-64bd+16b^2c}{256a^3} \cdot \frac{1}{a} $$

حالا طرفین معادله را با $-qx-r+px^2+p^2$ جمع می‌کنیم:

$$x^4+px^2+qx+r=0 \Rightarrow (x^2+p)^2=-qx-r+px^2+p^2$$

سپس متغیری جدید تحت عنوان $m$ را معرفی کرده و عبارت $2(x^2+p)m+m^2$ را به طرفین معادله اضافه می‌کنیم:

$$(x^2+p)^2=-qx-r+px^2+p^2 \Rightarrow (x^2+p+m)^2=(p+2m)x^2-qx+(2pm+m^2-r+p^2)$$

حالا باید مقدار $m$ را طوری انتخاب‌کنیم که سمت راست معادله به‌صورت مربع کامل درآید. در این‌صورت ریشه‌های چندجمله‌ای سمت راست معادله برحسب $x$، مضاعف می‌شوند و بنابراین دلتای آن باید برابر با صفر باشد:

$$q^2-4(p+2m)(2pm+m^2-r+p^2)=0 \Rightarrow 2pm+m^2-r+p^2= \frac{q^2}{4(p+2m)} $$

با ساده‌کردن معادلهٔ $q^2-4(p+2m)(2pm+m^2-r+p^2)=0$، به‌معادلهٔ زیر می‌رسیم که با حل آن برحسب $m$، مقدار $m$ از آن به‌دست می‌آید:

$$8m^3+20pm^2+(16p^2-8r)m+(4p^3-4pr-q^2)=0$$

همچنین در بالا دیدید که $2pm+m^2-r+p^2= \frac{q^2}{4(p+2m)}$، پس:

$$(x^2+p+m)^2=( \sqrt{p+2m} \cdot x- \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )^2$$

در نتیجه:

$$(x^2+ \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m- \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )(x^2- \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m+ \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )=0$$

با حل این معادله برحسب $x$ و قرار دادن $x$ در $x- \frac{b}{4a} $، حل معادلهٔ درجهٔ چهار به‌پایان می‌رسد و چهار ریشهٔ آن به‌دست می‌آید (مقدار $m$ را هم همانطور که در بالا گفته‌شد، باید از معادلهٔ $8m^3+20pm^2+(16p^2-8r)m+(4p^3-4pr-q^2)=0$ به‌دست آورید و در معادلهٔ $(x^2+ \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m- \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )(x^2- \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m+ \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )=0$ قرار دهید تا بتوانید معادلهٔ درجهٔ چهار را حل کنید).

همچنین روش حل معادلهٔ درجهٔ سه را نیز می‌توانید در این لینک از همین سایت ببینید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...