به نام خدا
معادلهٔ درجهٔ چهار زیر را در نظر بگیرید:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$
برای حل این معادله مراحل زیر را طی میکنیم (این روش به روش فِراری معروف است):
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$
ابتدا بهجای $x$، $x- \frac{b}{4a} $ را قرار میدهیم؛ و بعد طرفین معادله را بر ضریب $x^4$ تقسیم میکنیم و سپس میتوان معادله را بهشکل زیر نوشت:
$$x^4+px^2+qx+r=0$$
که $p$، $q$ و $r$ برابر هستند با:
$$p= \frac{8c-3b^2}{8a} \cdot \frac{1}{a} $$
$$q= \frac{b^3-4bc+8d}{8a^2} \cdot \frac{1}{a} $$
$$r= \frac{-3b^4+256e-64bd+16b^2c}{256a^3} \cdot \frac{1}{a} $$
حالا طرفین معادله را با $-qx-r+px^2+p^2$ جمع میکنیم:
$$x^4+px^2+qx+r=0 \Rightarrow (x^2+p)^2=-qx-r+px^2+p^2$$
سپس متغیری جدید تحت عنوان $m$ را معرفی کرده و عبارت $2(x^2+p)m+m^2$ را به طرفین معادله اضافه میکنیم:
$$(x^2+p)^2=-qx-r+px^2+p^2 \Rightarrow (x^2+p+m)^2=(p+2m)x^2-qx+(2pm+m^2-r+p^2)$$
حالا باید مقدار $m$ را طوری انتخابکنیم که سمت راست معادله بهصورت مربع کامل درآید. در اینصورت ریشههای چندجملهای سمت راست معادله برحسب $x$، مضاعف میشوند و بنابراین دلتای آن باید برابر با صفر باشد:
$$q^2-4(p+2m)(2pm+m^2-r+p^2)=0 \Rightarrow 2pm+m^2-r+p^2= \frac{q^2}{4(p+2m)} $$
با سادهکردن معادلهٔ $q^2-4(p+2m)(2pm+m^2-r+p^2)=0$، بهمعادلهٔ زیر میرسیم که با حل آن برحسب $m$، مقدار $m$ از آن بهدست میآید:
$$8m^3+20pm^2+(16p^2-8r)m+(4p^3-4pr-q^2)=0$$
همچنین در بالا دیدید که $2pm+m^2-r+p^2= \frac{q^2}{4(p+2m)}$، پس:
$$(x^2+p+m)^2=( \sqrt{p+2m} \cdot x- \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )^2$$
در نتیجه:
$$(x^2+ \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m- \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )(x^2- \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m+ \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )=0$$
با حل این معادله برحسب $x$ و قرار دادن $x$ در $x- \frac{b}{4a} $، حل معادلهٔ درجهٔ چهار بهپایان میرسد و چهار ریشهٔ آن بهدست میآید (مقدار $m$ را هم همانطور که در بالا گفتهشد، باید از معادلهٔ $8m^3+20pm^2+(16p^2-8r)m+(4p^3-4pr-q^2)=0$ بهدست آورید و در معادلهٔ $(x^2+ \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m- \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )(x^2- \sqrt{p+2m} \cdot x+p+m+ \frac{q}{2 \sqrt{p+2m} } )=0$ قرار دهید تا بتوانید معادلهٔ درجهٔ چهار را حل کنید).
همچنین روش حل معادلهٔ درجهٔ سه را نیز میتوانید در این لینک از همین سایت ببینید.
